ECUACIONES DIFERENCIALES EN DERIVADAS PARCIALES

Autor: Moll Cebolla José Salvador.
Año: 2004.
Universidad: VALENCIA.
Centro de lectura: Facultat de Matemàtiques.
Centro de realización: Facultad de Matemáticas.

Resumen: El objetivo de esta Memoria es el tratar de entender y dar un concepto de solución adecuado a ecuaciones en derivadas parciales parabólicas no lineales en forma de divergencia cuyo lagrangiano tiene crecimiento lineal en el infinito. Este concepto de solución nos permitirá obtener resultados de existencia y unicidad de soluciones, computación de soluciones explícitas o estudiar el comportamiento asintótico de las mismas. En nuestro estudio abordamos tanto el problema de Cauchy en todo el espacio n-dimensional como problemas con condiciones de contorno no lineales entre los que se incluyen tanto el problema de Dirichlet como el de Neumann. Los problemas abordados en esta Tesis son los siguientes: En primer lugar continuamos el estudio del Flujo Variación Total y obtenemos que la EDP correspondiente es una ecuación bien puesta para datos iniciales una medida de Radon bajo ciertas condiciones. En segundo lugar estudiamos el Flujo Variación Total con condiciones de frontera no lineales dadas por un grafomaximal monótono. Posteriormente estudiamos una generalización del Flujo Variación Total en presencia de una anisotropía; el llamado Flujo Variación Total Anisotrópico. Resolvemos tanto el problema de Cauchy en todo el espacio como el problema de Dirichlet en un abierto acotado. Finalmente, estudiamos el límite cuando la viscosidad cinemática tiende a infinito para la ecuación relativista del calor: la ecuación relativista del calor homogénea, que presenta una difusión temperada. Obtenemos resultados de existencia y unicidad de soluciones para dato inicial una función positiva acotada e integrable.

Autor: TRUJILLO GUILLÉN MACARENA.
Año: 2004.
Universidad: POLITECNICA DE VALENCIA.
Centro de lectura: Universidad Politécnica de Valencia.
Centro de realización: Universidad Politécnica de Valencia.

Resumen: En esta memoria se recoge fundamentalmente el estudio, bajo el punto de vista del modelo hiperbólico de transmisión del calor, de un problema de transmisión del calor basado en el procesado de materiales mediante pulsos de láser de alta intensidad y tiempos de aplicación muy cortos. Este tipo de problemas lleva asociado el desarrollo de un riguroso estudio matemático para la ecuación hiperbólica de transmisión del calor que nos permita establecer los fundamentos teóricos para el cálculo de temperaturas desde el punto de vista del modelo hiperbólico de transmisión del calor en diversos problemas de transmisión del calor, incluyendo aquellos en los que las condiciones iniciales y de contorno o las fuentes internas de calor estén dadas por distribuciones irregulares. La base del tratamiento matemático que vamos a desarrollar se encuentra fundamentalmente en el estudio y determinación de la función de Green del problema de Neumann para la ecuación hiperbólica de transmisión del calor. A continuación se recoge también en esta memoria el estudio de la respuesta térmica de dos cuerpos que inicialmente se encuentran a temperaturas diferentes y que a partir del instante inicial se ponen súbitamente en contacto, nuevamente bajo el punto de vista del modelo hiperbólico de transmisión del calor. El problema se resuelve suponiendo dos tipos de contacto entre los cuerpos: contacto directo y contacto con resistencia.

Autor: GOMEZ MOURELO PABLO.
Año: 2003.
Universidad: POLITECNICA DE MADRID.
Centro de lectura: E.T.S.I. INDUSTRIALES.
Centro de realización: E.T.S.I. INDUSTRIALES.

Resumen: Los sistemas multiagente (SMAs) son simulaciones informáticas de uso cada vez más extendido en el campo de la Biología Matemática. La facilidad de su diseño y su carácter intuitivo los hacen atractivos a los ojos de muchos investigadores, que incluso los consideran una forma de modelización alternativa a las herramientas matemáticas clásicas. Sin embargo, la validez de los sistemas multiagente no está suficientemente justificada; la aleatoriedad intrínseca a estos sistemas introduce una molesta incertidumbre en el proceso de extrapolación a resultados de validez general a partir de ejecuciones concretas. En esta tesis proponemos un protocolo totalmente original de validación de dichos sistemas y ejemplificamos el uso de este protocolo mediante un caso práctico de interés: el estudio de la migración de la Anguila europea (Anguilla anguilla) en el río francés Adour. Dicho protocolo de validación consta de varios pasos: 1) Codificación informática del sistema multiagente. 2) Escritura de un sistema de ecuaciones diferenciales estocásticas (EDEs) equivalente al modelo computacional. 3) Obtención, mediante un paso al límite en el número de agentes, de una ecuación en derivadas parciales (EDP) para la densidad de la población de anguilas. 4) Resolución numérica de dicha EDP. 5) Contraste estadístico no paramétrico multivariante de la identidad entre la EDP y el sistema multiagente. 6) Estudio analítico de la EDP (en una versión simplificada). Constatamos la utilidad de nuestro novedoso protocolo para la validación de nuestro SMA y, más aún, proponemos la extensión de su uso en la comunidad de simulación multiagente como un certificado estándar de validez. Esta extensión facilitaría un convenio en el diseño de sistemas multiagente, y proporcionaría un método riguroso de obtención y comunicación de los resultados obtenidos a partir de una simulación multiagente.

Autor: MARIN PECCI M. JOSE.
Año: 2003.
Universidad: CADIZ.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: En el desarrollo de la tesis determinamos, caracterizamos, describimos e interpretamos nuevas soluciones de tres modelos integrables en dimensión 2+1: La ecuación de KP, la ecuación de davey-stewartson y el modelo de nizhnik-novikov-veselov; modelos de los que se conocen soluciones con propiedades interesantes determinadas en teoría de sistemas integrables. Para construir nuevas soluciones de dichos modelos haciendo uso de la teoría de transformaciones de simetría aplicamos dos métodos diferentes. Comenzamos por su ecuaciones reducidas y buscamos soluciones para ellas, procediendo posteriormente a deshacer las reducciones. Aplicamos los elementos del grupo de simetrías a soluciones conocidas.

Autor: TORO MODOLELL NAIRA DEL.
Año: 2003.
Universidad: GRANADA .
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD DE GRANADA.

Resumen: El objetivo principal de esta tesis doctoral es el estudio de cierto problema elíptico semilineal, cuya no linealidad depende del gradiente de la solución y con condiciones de frontera de Dirichlet; tanto para el caso multidimensional como unidimensional, dando resultados de existencia y multiplicidad de soluciones cuando dicho problema se hace resonante. Además, en el caso unidimensional se estudian resultados asintóticos sobre el rango de soluciones, no sólo para condiciones de frontera de Dirichlet sino también de Neumann y periódicas, cuando el problema se hace resonante en el prinmer autovalor.

Autor: Colorado Heras Eduardo.
Año: 2003.
Universidad: AUTONOMA DE MADRID.
Centro de lectura: Facultad de Ciencias.
Centro de realización: Departamento de Matemáticas de la Facultad de Ciencias de la UAM.

Resumen: El presente trabajo, inserto en el área de investigación de las Ecuaciones en Derivadas Parciales No Lineales, es la proyección actual de un área clásica del Análisis Matemático, además de una importante referencia para la generación y contraste de métodos numéricos y computacionales en muchas aplicaciones científicas y tecnológicas. En este sentido, este campo de investigación puede inscribirse dentro de una de las áreas más importantes en la investigación presente y futura que podríamos denominar Matemática Fundamental para las Aplicaciones. Algunos de los ejemplos que se estudian en el presente trabajo, aparecen directamente como modelos aproximados de fenómenos en los que reacción y difusión compiten. Este tipo de modelos pueden tener su origen en reacciones químicas, combustión, difusión lineal o no lineal de calor, dinámica de poblaciones e incluso en algunos modelos simplificados de fluidos no newtonianos, que son los que componen la mayoría de los materiales con alguna relevancia industrial. Los problemas estudiados en la memoria tienen un denominador común: su carácter crítico, o en algún sentido, límite. El carácter crítico se entiende en este trabajo bajo varios puntos de vista: 1.- Problemas con falta de compacidad. 2.- Problemas con falta de regularidad. 3.- Problemas relacionados con constantes optimales. La memoria se divide en dos grandes apartados: I Ecuaciones Elípticas con Datos Mixtos de Tipo Dirichlet-Neumann. En esta parte se estudian ecuaciones semilineales y cuasilineales singulares o degeneradas asociadas con potenciales singulares o degenerados que aparecen en las desigualdades de Cafarelli-Kohn-Nirenberg, en las que se imponen tanto condiciones de tipo Dirichlet como mixtas de tipo Dirichlet-Neumann. Concretamente, se demuestran resultados de: i) Existencia o no existencia de solución en sentido de energía. ii) Estimaciones uniformes en L-infinito. iii) Multiplicidad de soluciones. iv) Regularidad. v) Bifurcación. Dicho estudio se hace en dos casos: con condiciones de contorno fijas o bien cuando se considera el movimiento de las mismas, bajo cierta regularidad definida en la memoria. II Ecuaciones Parabólicas. En esta segunda parte se estudian las ecuaciones parabólicas asociadas a las elípticas de la primera parte, con datos de contorno mixtos de tipo Dirichlet-Neumann. El sentido de solución con el que se trabaja es el de entropía (un concepto más débil que el de solución de energía, dado que en este caso, el segundo miembro está en general en L-uno). Precisamente se demuestra en: i) Problemas semilineales, resultados de no existencia y de "blow-up", con datos Dirichlet. ii) Problemas semilineales y cuasilineales con datos mixtos, resultados de "blow-up" en relación con la desigualdad de Harnack y la de Hardy-Sobolev, así como con la alcanzabilidad de la constante óptima en ésta última desigualdad.

Autor: GARCÍA GUIRAO JUAN LUIS.
Año: 2003.
Universidad: MURCIA.
Centro de lectura: MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS DE LA UNIVERSIDAD DE MURCIA.

Resumen: LA TESIS PRESENTADA SE ENMARCA EN EL ÁMBITO DE LOS SISTEMAS DINÁMICOS DISCRETOS. SE PLANTEAN Y RESUELVEN CIERTOS PROBLEMAS RELACIONADOS CON LOS CONJUNTOS OMEGA-LÍMITE Y CON LA PROPIEDAD DE POSEER ENTROPÍA TOPOLÓGICA CERO CENTRANDO LA ATENCIÓN EN UNA CLAVE ESPECIAL DE ENDOMORFISMOS CONTINUOS LLAMADOS "TRIANGULARES". LA TESIS SE DIVIDE EN CINCO CAPÍTULOS Y UN APÉNDICE. EL PRIMERO DE ELLOS DESTINADO A LA INTRODUCCIÓN DE LA NOTACIÓN Y LOS RESULTADOS PRELIMINARES QUE SE NECESITARÁN EN EL RESTO DE LA MEMORIA. EN EL SEGUNDO CAPÍTULO SE DESCRIBE COMPLETAMENTE LA FAMILIA DE LOS CONJUNTOS OMEGA-LÍMITE GENERADA POR UNA APLICACIÓN TRIANGULAR INTRODUCIDA POR KOLYADA, PERMITIENDO ASÍ COMPRENDER COMPLETAMENTE SU DINÁMICA.ADEMÁS, EN ESTE CAPÍTULO SE RESUELVE UN PROBLEMA PLANTEADO POR BALIBREA, REICH Y SMÍTAL AL CONSTRUIR UNA APLICACIÓN TRIANGULAR EN EL CUBO TRES DIMENSIONAL VERIFICANDO QUE LOS CONJUNTOS OMEGA-LÍMITE DE TODOS SUS PUNTOS,EXCEPTO LOS UNA CARA DEL CUBO,FORMADA POR PUNTOS FIJOS, SON IGUALES A DICHA CARA. EL CAPÍTULO TERCERO SE DEDICA AL ESTUDIO DE LA EXISTENCIA DE APLICACIONES UNIVERSALES RESPECTO DE LOS CONJUNTOS OMEGA-LÍMITE GENERADOS POR UNA FAMILIA DE FUNCIONES. SE PRUEBA QUE SI EL ESPACIO GENERA CONJUNTOS OMEGA-LÍMITE DIFERENTES DE PUNTOS FIJOS NO EXISTE APLIACIÓN TRIANGULAR UNIVERSAL PARA LOS CONJUNTOS TIPO INTERVALO LOCALIZADOS EN UNA FIBRA. POR OTRA PARTE LA EXISTENCIA DE APLIACIONES UNIVERSALES EN SENTIDO DÉBIL (ES DECIR, SALVO HOMEOMORFISMOS) TAMBIÉN ES ESTUDIADA EN LA SEGUNDA PARTE DEL CAPÍTULO. SE PRUEBA QUE EN VARIEDADES COMPACTAS M-DIMENSIONALES Y EN GRAFOS QUE SEAN DISTINTOS DE UN ARCO(ESPACIO HOMEOMORFO A UN INTERVARLO COMPACTO) NO EXISTEN ESTE TIPO DE APLIACIONES. EN EL CUARTO CAPÍTULO SE ESTUDIAN LAS PROPIEDADES DE CLAUSURA EN LA MÉTRICA DE HAUSDORFF DE LA FAMILIA DE TODOS LOS CONJUNTOS OMEGA-LÍMITE GENERADOS POR UNA APLICACIÓN CONTINUA DEFINIDA EN UN ESPACIO MÉTRICO COMPACTO. SE PRUEBA QUE EN DIMENSIÓN MAYOR QUE UNO, AL CONTRARIO DE LO QUE OCURRE EN EL INTERVALO, LA PROPIEDAD NO SE MANTIENE. SE PRUEBA INCLUSO QUE EN LA CLASE DE LAS APLICACIONES TRIANGULARES QUE POSEEN CONJUNTO OMEGA-LÍMITE GLOBAL CONTENIDO EN UNA FIBRA, LA PROPIEDAD DE CLAUSURA NO ES VÁLIDA. EN EL CAPÍTULO QUINTO SE RESUELVE UN PROBLEMA PLANTEADO POR SHARKOVSKY Y KOLYADA EN 1989, AL ENCONTRAR UNA PROPIEDAD DE POSEER ENTROPÍA TOPOLÓGICA CERO EN LA CLASE DE LAS APLICACIONES TRIANGULARES QUE POSEAN FUNCIÓN BASE CON CONJUNTO DE PUNTOS PERIÓDICOS CERRADO, SE TIENE LA EQUIVALENCIA ENTRE ENTROPÍA CERO Y CONJUNTO DE PUNTOS RECURRENTES IGUAL AL DE PUNTOS UNIFORMEMENTE RECURRENTES. EN EL APÉNDICE SE CONTESTA A UNA PREGUNTA FORMULADA EN EL CAPÍTULO PRIMERO. SE PRUEBA QUE EXISTEN APLICACIONES CONTINUAS DEFINIDAS EN UN ESPACIO CONJUNTO TIPO CANTOR Y EN UN CONTINUO BIDIMENSIONAL QUE SÓLO GENERAN PARES DE LI-YORKE.

Autor: FAGHLOUMI CHAKIB.
Año: 2003.
Universidad: COMPLUTENSE DE MADRID.
Centro de lectura: MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CC. MATEMÁTICAS.

Resumen: En esta memoria se aborda un conjunto de problemas no lineales en derivadas paraciales que tienen como común denominador el que las soluciones dan lugar a frentes espacio-temporales o fronteras libres que separan regiones del espacio en las que las soluciones se comportan de forma muy diversa. En ese conjunto de problemas aparece con un protagonismo especial el llamado problema de obstáculo que presenta numerosas dificultades. Así, los cuatro primeros capítulos conciernen, matemáticamente, con diferentes formulaciones de problemas de tipo obstáculo. En contraste a ello, el quinto capítulo aborda un problema de reacción-difusión que aparece en procesos de Ingeniería Química en el que la frontera libre es de tipo global-temporal y corresponde a la extinción en tiempo finito de una de las componentes de la solución de un cierto sistema no lineal. El Capitulo 1 trata de un problema que consiste en maximiazar la utilidad de los beneficios del Medio Ambiente y la industria bajo la hipótesis de la destrucción total del medio Ambiente una vez se inicia el proyecto industrial. En el Capítulo 2 se extienden las técnicas de la localización de la frontera libre a ecuaciones que no esta escritas en forma de divergencia. En el capítulo 3 se extiende también estas técnicas pero en este caso a Variedades Riemaniannas sin borde con aplicación a modelos climáticos. En el capítulo 4 se reconsidera el problema del Medio Ambiente del Capítulo 1 pero no en este caso bajo la hipótesis que la industria no aniquila drásticamente el medio ambiente si no que lo degrada paulatinamente. En el último capitulo se estudian reacciones químicas de orden menor que 1 y se demuestra la extinción en tiempo finito del catalizador.

Autor: NEGREANU MIHAELA.
Año: 2003.
Universidad: COMPLUTENSE DE MADRID.
Centro de lectura: MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS MATEMATICAS.

Resumen: Este trabajo está dedicado al estudio de Problemas de Control para versiones discretas y semi-discretas de la ecuación de ondas unidimensional. Se realiza un estudio pormenorizado de los métodos de aproximación numérica en el control de ondas. Se abordan dos problemas íntimamente relacionados: la controlabilidad y la observabilidad de las soluciones de los esquemas numéricos. Estos problemas son relevantes en el contexto de la resolución numérica de problemas en Teoría del Control. Ambos problemas han sido ampliamente estudiados en el contexto continuo: se recuerdan brevemente algunos aspectos de esta teoría que permitirá, por una parte, aclarar las motivaciones de empreder el estudio de su variante discreta y/o numérica, y, por otra, observar las profundas diferencias existentes entre ambas. Los resutlados principales versan sobre: A,- La convergencia de un método bi-malla propuesto por R.Glowinski. B,- La contalabilidad exacta del sistema completamente discreto correspondiente a la discretización con diferencias finitas de la ecuación de onda. C,- Una versión discreta de la desigualdad de Ingham para familias de exponenciales complejas. D,- La implementación numérica de un método de wavelets. Utilizando técnicas de Análisis de Fourier no armónico, el método HUM y métodos de multiplicadores discretos se obtienen condiciones que garantizan la controlabilidad/observabilidad de las soluciones de los esquemas numéricos en un tiempo similar al de caso continuo, un tiempo mayor que el doble de la longuitud. Las técnicas desarrolladas para tratar el problema mencionado y los resultados obtenidos, permiten a su vez resolver problemas similares: el caso multi-dimensional, la ecuación de ondas con coeficientes variables. Las similitudes numéricas ilustran la validez de los resultados teóricos obtenidos.

Autor: GIL RESINA DEBORA.
Año: 2003.
Universidad: AUTONOMA DE BARCELONA.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: ESCUELA DE DOCTORADO Y DE FORMACIÓN CONTINUADA.

Autor: AYUSO DE DIOS BLANCA.
Año: 2003.
Universidad: AUTONOMA DE MADRID.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS, FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: La técnica del postproceso surgió en conexión con el llamado "Método Galerkin No-Lineal" (NGM); un conjunto de esquemas numéricos que utilizan la idea de la Variedad Inercial Aproximada (AIM) y mejoran el orden de convergencia de los Métodos Galerkin estándar. Los métodos postprocesados también mejoran el orden de convergencia de los Métodos Galerkin estándar y además son más eficientes que los Algoritmos No-Lineales. La técnica del postproceso ha sido aplicada con éxito a multitud de métodos galerkin para ecuaciones en derivadas parciales disipativas. En este trabajo, se extiende la técnica del postproceso al Método de Elementos Finitos Mixtos (MFEM) para las ecuaciones de Navier-Stokes. Estas ecuaciones modelan la evolución del campo de velocidades y de la presión de un fluido viscoso, suponiendo que el fluido es homogéneo e incompresible. El Método de Elementos Finitos Mixtos (MFEM) postprocesado puede considerarse como un método a dos niveles. En el primer nivel, se calcula la aproximación por MFE a la solución del problema de Navier-Stokes. Esta resulta ser la parte más costosa del método postprocesado, pues involucra la integración temporal de las ecuaciones de Navier-Stokes. En un segundo nivel, se postprocesa esta aproximación obtenida; calculando la aproximación por MFE de un problema de Stokes. La aproximación se lleva a cabo usando un elemento mixto más preciso que el empleado en el primer nivel del método. Como resultado se obtiene un método que no sólo mejora la precisión de la aproximación, sino que además aumenta la eficiencia del MFEM: * La mejora en la precisión se obtiene gracias al aumento en el orden de convergencia de las aproximaciones de la velocidad y la presión. * La mejora en la eficiencia se obtiene debido a que le postproceso sólo requiere la aproximación de un problema de Stokes, una vez que la integración temporal se ha completado. En este trabajo se ha desarrollado la técnica del postproceso para MFEM de orden alto; la familia de Hood-Taylor y MFEM de primer orden; el Mini-Elemento. Para completar el análisis hemos comprobado la mejora en la precisión y la eficiencia del método postprocesado, mediante experimentos numéricos. Estos se han realizado para los elemetnos de Hood-Taylor. El capítulo 2 se dedica a la notación y contiene algunos preliminares acerca del problema continuo. En el Capítulo 3, se recogen las técnicas y resultados de la teoría general del Método de Elementos Finitos y de los Métodos de Elementos Finitos Mixtos para le problema de Stokes y Navier-Stokes. En este mismo Capítulo hemos incluido algunos resultados originales, que resultan necesarios para desarrollar el análisis del postproceso en los Capítulos 4 y 5. El método postprocesado para los elementos de Hood-Taylor se desarrolla en el Capítulo 4. Entre las aportaciones principales de este capítulo, en una primera parte se obtienen resultados de superconvergencia de la aproximación de la velocidad a la proyección de Stokes. Como consecuencia de estos resultados, se deriva la convergencia óptima para la velocidad y la presión para el problema de Navier-Stokes. En una segunda parte, se analiza el método postprocesado. Se obtienen para este método, resultados de convergencia óptima para la velocidad y la presión para el problema de Navier-Stokes. En una segunda parte, se analiza el método postprocesado. Se obtienen para este método, resultados de convergencia y estimaciones del error, para la velocidad y la presión en las distintas normas. Dichas estimaciones muestran que el orden del MFEM postprocesado, se mejora en una unidad con respecto al orden óptimo del MFEM. Este análisis se complementa con experimentos numéricos que confirman la ganancia en la precisión de la aproximación postoprocesada, el aumento del orden de convergencia y ponen de manifiesto la mayor eficiencia del método postprocesado de elementos finitos mixtos frente al MFEM estándar. En el capítulo 5, consideramos la técnica del postproceso para MFEM de primer orden. Hemos considerado el llamado Mini-elemento, que aproxima la velocidad y la presión mediante polinomios de Lagrange lineales a trozos, y el espacio de elementos finitos de las velocidades discretas se enriquece con funciones burbujas, encargadas de garantizar la LBB estabilidad del mini-elemento. En una primera parte del capítulo, se describe el elemento Mini, extendiendo la construcción al caso de dimensión 3. Se deducen propiedades de aproximación y se obtiene un resultado de superconvergencia en la norma de la energía, para el error de la proyección de Stokes y la aproximación de la velocidad con el mini-elemento. A partir de este resultado se deriva la convergencia optimal de la velocidad y la presión. Para el método postprocesado se prueba una mejora en el orden de convergencia para la velocidad y lapresión postprocesadas, con respecto al dictado por la aproximación con el míni-elemento. Una de las propuestas para llevar a cabo el postprocesado del elemento mini, es considerar el elemento de segundo orden de esta familia de MFE, que se analiza en la memoria. Debemos hacer notar que nuestro análisis de convergencia del Mini-elemento, no involucra en ningún momento el proceso de condensación estática, en el que las burbujas se eliminan reduciendo la dimensión del problema, las burbujas no se eliminan hasta que la aproximación se ha calculado completamente. La memoria se ocmplet con dos Apéndices en los que se estudia como resolver las dificultades que se plantean en el análisis cuando el dominio computacional no coincide exactamente con el dominio del problema continuo. En general, en los trabajos de FEM o MFEM, los autores suelen obviar esta cuestión y tratar únicamente el caso en el que dominio computacional coincide exactamente con el dominio del problema continuo, omega. En el Apéndice A estudiamos como resolver las dificultades que se plantea, cundo el dominio Computacional está estrictamente contenido en omega. Se deduce el tipo de aproximación que se requiere en la frontera del dominio, para preservar el análisis de convergencia y las estimaciones óptimas y globales del error. Se analizan los casos de MFE de orden alto y de primer orden. En el Apéndice B, se estudia el caso completamente general. Presentamos un método que nos permite resolver las dificultades extras que surgen en este caso. La idea es extender el problema de Stokes a un dominio más grande que contenga al dominio computacional y al dominio continuo. Así, al analizar el error global cometido en la aproximación numérica, nos encontramos con dos contribuciones bien diferenciadas: una debida al cambio del dominio, y la otra que proviene de la aproximación numérica en sí. El análisis de está última contribución requiere, obviamente, el uso de las técnicas desarrolladas en el Apéndice A. El análisis del error debido al cambio del dominio se reduce en ultima instancia a un problema de EDPs: el estudio de la regularidad hasta la frontera y la obtención de cotas a priori, para las soluciones de estos problemas de Stokes.

Autor: JORNET CASANOVA DAVID.
Año: 2003.
Universidad: POLITECNICA DE VALENCIA.
Centro de lectura: INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN .
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.

Resumen: Los operadores pseudodiferenciales son generalizaciones de los operadores integrales singulares y de los operadores en derivadas parciales con coeficientes variables. A cada operador le corresponde un símbolo, que es una función infinitamente diferenciable y cuyas derivadas parciales cumplen ciertas estimaciones. El propósito es introducir estos operadores en el contexto de las clases no casianalíticas de tipo Beurling, clases que recientemente han recibido mucha atención, por ser más generales y unificar teorías anteriores. La tesis de tres capítulos. En el primero se definen los símbolos y operadores, se estudia entre qué espacios de funciones y ultradistribuciones actúan, se prueba que la clase es cerrada por trasposición y que los operadores son pseudolocales. También se dan ejemplos naturales de operadores en este contexto: operadores diferenciales cuyos coeficientes son fuciones ultradiferenciables, los operadores regularizantes y los operadores ultradiferenciales en el sentido de Komatsu,y la convolución con una solución fundamental de un operador ultradiferencial elíptico. En el segundo capítulo se introduce el cálculo simbólico, cuyo objetivo es sustituir la teoría de los operadores por una algebraica de los correspondientes símbolos. El tercer capítulo está dedicado al estudio de la hipoelipticidad, concretamente de operadores en derivadas parciales de fuerza constante cuyos coeficientes están en una clase conveniente de funciones ultradiferenciables. Se preuba que en este contexto, la hipoelipticidad coincide con la hipoelipticidad homogénea, a priori más débil. También se establece una condición suficiente para la existencia de una paramétrix pseudodiferencial.

Autor: UREÑA ALCAZAR ANTONIO JESUS.
Año: 2002.
Universidad: GRANADA.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: Esta memoria esta dividida en cuatro capítulos. Cada uno de ellos esta dedicado al estudio de un problema de contorno distinto. Con este fin utilizamos herramientas variacionales, topológicas, argumentos de bifurcación, etc. En el primer capítulo estudiamos las propiedades cualitativas, locales y asintóticas, del conjunto de resolubilidad asociado al problema de Dirichlet correspondiente a una perturbación con no-linealidad periódica de una ecuación lineal de segundo orden resonante en el primer valor propio. Nuestros resultados extienden al caso no conservativo otros resultados previos de Dancer (1982) y Cañada-Roca (1997), mostrando que la existencia de fricción afecta localmente a la resolubilidad del problema de forma cualitativamente distinta a como afecta al problema periodico correspondiente, estudiado por Ortega en 1987. No obstante, las propiedades cualitativas asintóticas del conjunto de solvabilidad se corresponden a las del problema periódico, estudiadas por Kannan-Ortega (1986). Los tres artículos en los que este capítulo está inspirado han sido escritos en colaboración con A. Cañada. En el segundo capítulo estudiamos la generalización a EDP del problema considerado en el primer capítulo. En otras palabras, estudiamos propiedades cualitativas del conjunto de resolubilidad S asociado al problema de contorno tipo Drichlet asociado a una perturbación periódica de un operador lineal elíptico resonante en su primer valor propio. Asimismo, para cada elemento de S tratamos el problema de la multiplicidad de soluciones del problema de contorno asociado. Estas cuestiones habían sido estudiadas con anterioridad por autores tales como Costa-Jeggle-Schaaf-Schmidt (1988), Schaaf-Schmitt (1988, 1990, 1990) y Solimini (1986). Nosotros establecemos diferencias cualitativas para este problema entre los casos de dimensiones altas y bajas, estudiando al mismo tiempo el problema relacionando de no-degeneración. En el tercer capítulo, nuestro objeto de estudio es el problema periódico para la ecuación del péndulo forzado. Concretamente, nos centramos en la cuestión de la multiplicidad geométrica del conjunto de soluciones. Nuestros resultados extienden al mismo tiempo resultados previos de Donati (1993), Ortega (1997), y Katriel (1998) sobre la no-acotación del conjunto de soluciones periodicas de esta ecuación. Además de ello estudiamos el problema de la multiplicidad exacta del conjunto de soluciones. Para ello usamos técnicas de bifurcación desde el continuo de soluciones generado por una órbita cerrada (esta idea procede del artículo de Ortega) o, cuando la no-linealidad no es un polinomio trigonométrico, bufurcamos soluciones desde periodo nulo (en este caso, la idea está inspirada en el artículo de Katriel). En el último capitulo extendemos al caso de perturbaciones del operador p-laplaciano vectorial ordinario un resultado anterior de Hartman (1960) and Knobloch (1971) sobre la existencia de soluciones de Dirichlet y periódicas respectivamente para una cierta clase de perturbaciones continuas del operador vectorial laplaciano ordinario que verifican una condición de Nagumo en su crecimiento en el infinito. Este resultado había sido ya generalizado por Mawhin (2000) a perturbaciones del operador p-laplaciano no dependientes de la derivada de la función incógnita, y el objetivo de este capítulo es el de unificar los resultados de Hartman-Knobloch y Mawhin. El artículo en el que está inspirado ha sido escrito conjuntamente con J. Mawhin.

Autor: SÁNCHEZ ROMERO ÓSCAR.
Año: 2002.
Universidad: GRANADA.
Centro de lectura: CIENCIAS .
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: El contenido de la tesis está orientado al estudio cualitativo de algunas soluciones de Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP). Más concretamente, se han tratado aspectos relacionados con la existencia y la estabilidad de soluciones estacionarias y comportamiento de las soluciones dependientes del tiempo de EDP originadas en teoría de transporte de carga en semiconductores y dinámica estelar. Evidentemente, dichos aspectos tienen interés per se, aunque el propio estudio proporciona las directrices para una posterior mejora en el modelado de los sistemas originales. Los trabajos que se presentan buscan esta relación de retroalimentación entre el análisis y el modelado. En este sentido dos de los sistemas que se han planteado en la memoria son precisamente versiones modificadas de otros modelos que pretenden explicar la fenomenología observada que los originales no reflejan. Los sistemas que se estudian tienen en común que representan un gran número de particulas que interactúan entre si al moverse (bien sean los electrones que constituyen la corriente eléctrica, o las estrellas de una galaxia). La descripción de este tipo de sistemas depende de las leyes físicas que rigen el sistema y de la escala de observación que se emplee. Así, consideramos un marco cuántico para describir el movimiento de los electrones (sistemas de Schrödinger-Poisson y Schrödinger-Poisson-Slater) y la teoría clásica para describir la dinámica de estrellas (sistema de Vlasov-Poisson). Finalmente, se proponen algunos trabajos acerca del estudio de transporte de carga en superredes semiconductoras basado en un modelo discreto de convección-difusión.

Autor: GONZÁLEZ VIDA JOSÉ MANUEL.
Año: 2002.
Universidad: MALAGA.
Centro de lectura: CIENCIAS .
Centro de realización: DPTO. ANÁLISIS MATEMÁTICO - FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: En esta tesis doctoral se aborda la simulación de fluidos de aguas someras (o poco profundas) en los casos de una y dos capas, tratando de manera específica y desde distintas perspectivas las dificultades numéricas asociadas a la aparición de zona sin agua (frentes seco-mojado) en el dominio de cálculo, así como la evolución temporal de éstas. En todos los casos no consideran los efectos viscosos en las direcciones horizontales. Aunque estos efectos pueden ser de importancia en las aplicaciones, esto se hace con el objetivo de evaluar la capacidad de los esquemas numéricos que se proponen para simular adecuadamente fenómenos de naturaleza hiperbólica, como son los frentes de superficie, los frentes internos, saltos hidráulicos o las ondas de rarefacción. Los contenidos de la tesis doctoral se hayan agrupados en tres bloques. El primero de ellos estaría constituido por los tres primeros capítulos, en los cuales se proponen sucesivos esquemas para la resolución numérica de las ecuaciones de aguas someras unidimensionales para el caso de un fluido homogéneo (de una sola capa) mediante elementos finitos lagrangianos, mixtos y volúmenes finitos, respectivamente. En el segundo bloque, formado por los capítulos 4 y 5, se coonsideran flujos bicapa en canales de sección rectangular primero y en canales de secciones arbitrarias a continuación. Por último, el tercer bloque lo constituye el capítulo 6, en el cual se presentan esquemas numéricos para las ecuaciones de aguas someras bidimensionales para fluidos homogéneos. En este trabajo se lleva a cabo una validación exhaustiva de los esquemas numéricos que se proponen presentándose además diversas aplicaciones a problemas reales y de gran interés (científico, socioeconómico, medioambiental, etc.). En particular, se presenta una simulación del flujo bicapa a través del Estrecho de Gibraltar donde se incluye el forzamiento de marea y de otra simulación de la rotura de la presa de aguas tóxicas de Aznalcóllar.

Autor: GARCÍA VÁZQUEZ CONCEPCIÓN.
Año: 2002.
Universidad: CADIZ.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.

Resumen: En este trabajo realizamos un análisis teórico de algunas variantes de la ecuación para la disipación de la energía cinética turbulenta $/varepsilon$ que aparece en el modelo $k$-$/varepsilon$ de turbulencia. Para ello suponemos primero que $/varepsilon$ está desacoplada del resto de las ecuaciones del sistema, considerando que las variables $/var w$ y $k$ entran como datos en la ecuación de $/varepsilon$. A continuación, aparecen una serie de resultados ligados a los sistemas que resultan si acoplamos la ecuación para $/varepsilon$ con las ecuaciones de Reynolds. De esta forma, pretendemos acercarnos un poco más a un análisis real del modelo $k$-$/varepsilon$ completo, que aún no ha sido realizado.

Autor: ORIVE ILLERA RAFAEL.
Año: 2002.
Universidad: AUTONOMA DE MADRID.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: En esta Tesis Doctoral se presentan algunos resultados sobre tres temas: A,- La homogeneización de ecuaciones elípticas en medios con estructura periódica rápidamente oscilante. B,- El límite de las aproximaciones en diferencias finitas de ecuaciones elípticas de coeficientes fuertemente oscilantes. C,- El comportamiento asintótico de las soluciones de sistemas hiperbólicos relajados cuando el tiempo tiende a infinito. Con los resultados de los dos primeros se pretende dar respuestas a las siguientes cuestiones: 1,- Caracterización del problema homogeneizado límite, i.e., de las propiedades efectivas del medio homogeneizado. 2,- Análisis riguroso del sentido o topología en el que se produce la convergencia del medio heterogéneo al medio homogéneo. 3,- Cálculo de los términos correctores y análisis riguroso de la convergencia de estos términos con la respuesta del medio heterogéneo. 4,- Utilización de estos resultados analíticos para el desarrollo de métodos numéricos de bajo coste computacional y eficientes para el cálculo de las respuestas del medio fuertemente heterogéneo. La herramienta fundamental para obtener estos resultados son las Ondas de Bloch. Estas son una familia de autofunciones asociadas a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes periódicos que permiten una descomposición de los espacios de funciones cuadrado medibles. Con respecto al estudio del sistema hiperbólico relajado, se demuestra la existencia de soluciones para datos iniciales pequeños y resultados de explosión de la solución en tiempo finito cuando los datos iniciales son suficientemente grandes. En el caso de las soluciones globales, se obtienen estimaciones de su decaimiento gracias a descomponer mediante análisis de Fourier y, finalmente, tras un rescalamiento de las soluciones y resultados de convergencia, se demuestra que las soluciones se comportan como la solución fundamental de la ecuación del calor o como la solución fundamental de la ecuación de Burgers difusiva.

Autor: VILELA BENDAÑA M. CRUZ.
Año: 2002.
Universidad: PAIS VASCO.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: Las estimaciones de Strichartz bilineales surgen de manera natural al intentar resolver el problema de Cauchy asociado a la ecuación de Schrödinger no homogénea. En la tesis se estudia cuándo son ciertas dichas estimaciones y cuándo no lo son. Asimismo, como una aplicación de las estimaciones obtenidas, se resuelve el problema de Cauchy asociado a la ecuación semilineal de Shrödinger en un cierto espacio Lp débil, que contiene soluciones autosemejantes, desde el punto de vista de la escala, y soluciones de Hs, para valores de s negativos. Por último, se estudia la regularidad de soluciones de la ecuación lineal de Schrödinger en espacios Lp con peso.

Autor: GORRIA CORRES CARLOS.
Año: 2002.
Universidad: PAIS VASCO.
Centro de lectura: CIENCIAS .
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: En esta memoria se investiga un modelo de uniones múltiples de Josephson, que consiste en un conjunto de láminas superconductoras y materiales aislantes superpuestos consecutivamente. En condiciones de superconductividad, cuando los aislantes son suficientemente finos para permitir el intercambio de pares de Cooper por efecto túnel, las fases de las funciones de onda de los respectivos superconductores están relacionadas y su diferencia está gobernada por la ecuación de sine-Gordon. Esta ecuación admite soluciones en forma de onda viajera denominadas kink o antikink dependiendo de su polaridad. La dos posibles elecciones en la polaridad de estas soluciones propician la utilidad estas ondas en tecnología de computadoras para almacenar y transmitir datos en forma binaria. Por otra parte el modelo de uniones múltiples desemboca en un sistema de ecuaciones acopladas de sine-Gordon. El trabajo se centra en tres aspectos de las soluciones y para ello se estudia un sistema generalizable de tres ecuaciones. Los resultados analíticos se han contrastado con las simulaciones realizadas mediante un método numérico en diferencias finitas de segundo orden para el que se ha probado la condición de estabilidad. En primer lugar se identifican las configuraciones de ondas de tipo kink y antikink que, definidas como condición inicial en el sistema, transmiten de forma estable la información que ha sido introducida al comienza. Para ello se plantean las ecuaciones de Legrange tomando como coordenadas generalizadas las posiciones de la parte central de las ondas. El resultado indica que a velocidades reducidas las configuraciones tipo kink-antikink-kink son estables y las de tipo kink-kink-kink inestables. En segundo lugar se caracteriza el perfil de las ondas que se ve alterado por la interacción debido al acoplamiento. Para ello se resuelve el problema de valores iniciales mediante un método numérico de tiro múltiples y se comparan los resultados con la aproximación a las soluciones obtenidas mediante un método analítico de perturbación multiescalar. Ambos resultados son análogos y descubren que en las configuraciones de tipo kink-antikink-kink la presión ejercida por el antikink por parte de los kinks da lugar a pliegues (overshoot) en su perfil. Estos pliegues pueden dar lugar a la creación de radiación. En tercer lugar se utiliza una linearización a trozos del sistema original para aproximar sus soluciones por medio de las del sistema linearizado. Estas últimas conservan muchas de las propiedades de las soluciones exactas y determinan el rango de velocidades, por encima de la de Swihart, a al que debe ser impulsada la configuración kink-kink-kink para que viaje sincronizada. La sincronización se debe al acoplamiento de las oscilaciones de signo opuesto (radiación de Cherenkov) que se crean a esas velocidades en dos kinks vecinos.

Autor: CALVO JURADO CARMEN.
Año: 2002.
Universidad: SEVILLA.
Centro de lectura: MATEMÁTICAS .
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS.

Resumen: En esta memoria se estudia el comportamiento asintótico de las soluciones de ecuaciones en derivadas parciales de tipo elíptico y parabólico con condiciones de contorno de Dirichlet, cuando varían simultáneamente los coeficientes de la ecuación y los dominios en los que las ecuaciones se plantean. Estudiamos el caso de sistemas no lineales elípticos y parabólicos con coeficientes que no dependen del tiempo. Para el caso en el que hay dependencia del tiempo, sólo nos ocupamos del problema lineal para ecuaciones. Para ello, la idea básica que vamos a utilizar es comparar nuestros problemas con otros más sencillos para los cuales su homogeneización es conocida. Fundamentalmente, el problema para el p-Laplaciano con abiertos variables y el problema correspondiente con coeficientes variables y abiertos fijos. También se dan resultados de corrector que permiten obtener aproximaciones de los gradientes de las soluciones de los problemas anteriores en topologías fuertes, puesto que en un principio estos convergen únicamente en topologías débiles.