ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Autor: SANZ GIL ANA M..
Año: 2004.
Universidad: VALLADOLID.
Centro de lectura: FACULTAD DE CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: Aplicamos técnicas de teoría de flujos (o semiflujos) triangulares, conjuntamente con herramientas de dinámica topológica, cálculo diferencial, teoría ergódica y teoría de sistemas dinámicos monótonos, al estudio cualitativo de las soluciones de ecuaciones diferenciales no autónomas con propiedades de monotonía y convexidad. Nos interesan en concreto el comportamiento asintótico de las soluciones acotadas y el efecto que tiene la casi periodicidad de los coeficientes de una ecuación en sus soluciones. Esto se traduce en el estudio de los conjuntos invariantes y minimales de los flujos (o semiflujos) triangulares asociados, así como de la dinámica heredada por estos conjuntos en relación con el flujo sobre la envolvente (en especial los tipos de dinámica casi periódica y casi automórfica) Aportamos teoremas de atracción para sistemas dinámicos no autónomos monótonos y convexos en los que existe una región invariante acotada, limitada por dos conjuntos minimales ordenados. Aparte del interés puramente teórico de esta situación, destacamos su aplicación práctica a numerosos problemas de biología matemática, ingeniería y otras ciencias aplicadas. Nuestros resultados guardan cierto paralelismo con los de L. Arnold e I. Chueshov para el caso random, quienes iscuten la estructura dinámica de semiflujos fuertemente sublineales en función de sus equilibrios. En primer lugar centramos nuestro estudio en ecuaciones escalares, que generan siempre sistemas dinámicos fuertemente monótonos. En este caso las demostraciones adquieren su versión más simple y se consigue ilustrar la aparición de un minimal casi automórfico como colisión de minimales casi periódicos. Además, estudiamos desde un punto de vista topológico la frecuencia con la que se da este fenómeno. En segundo lugar consideramos el caso de dimensión infinita, que se inspira de hecho en el caso escalar. Realizamos una descripción global de la dinámica en una clase de semiflujos triangulares monótonos y fuertemente convexos, cuando existen dos minimales fuertemente ordenados. En este punto es conveniente indicar que todos los resultados que obtenemos en esta memoria bajo condiciones de convexidad son trasladables (con las oportunas modificaciones) al caso cóncavo sin ninguna dificultad. Finalmente, como aplicación de nuestra teoría, presentamos resultados de atracción en modelos de diversas ciencias. El caso autónomo ha sido ampliamente estudiado en la literatura. Sin embargo, el interés por las ecuaciones no autónomas aumenta, ya que los fenómenos que se pretende modelar requieren frecuentemente la variación temporal de sus coeficientes. Nuestra teoría se aplica a modelos no autónomos con coeficientes para la existencia de un atractor global en modelos de población dados por ecuaciones diferenciales con retardo, de gran interés en la biología; en modelos de transmisión de infecciones; en ecuaciones que describen mecanismos biológicos de retroalimentación; así como en redes neuronales, de gran interés y aplicación en campos como la teoría de la señal, tratamiento de la imagen y modelos biológicos.

Autor: DIAZ SIERRA RUBEN .
Año: 2004.
Universidad: NACIONAL DE EDUCACION A DISTANCIA.
Centro de lectura: CIENCIAS.

Resumen: La tesis presentada, desarrolla y aplica varias metodologías de evidente utilidad en el estudio de modelos matemáticos en ecología matematica, y en sistemas complejos en egeneral,que se presentan en forma de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. En particular se centra en sistemas de formato cuasi polinomial (QP). El capítulo de introducción aborda una síntesis de la ecología como disciplina y de los principales retos que afronta. Se repasan los numerosos problemas de la ecología en un conjunto reducido de cuestiones claves relacionadas con la complejidad dinámica (no-linealida, estructura del espacio de fases), heterogeneidad y número de componentes diferenciadas. El capítulo 2, presenta brevemente las propiedades del formalismo cuasipolinomial. El capítulo 3, se propone una descripción gráfica de sistemas diferenciales en formato cuasipolinomial. Se destacan las limitaciones de las representaciones gráficas comunes y se presenta un grafo bipartito con "peso" para la representación (con modos y conexiones) de sistemas no-lineales. Se traducen las principales propiedades de este formalismo (transformaciones y estructuración en familias topológicamente equivalentes) en términos gráficos. Esto implica que las dos componenetes del grafo, asociadas a la no-linealidad y a la conectividad del sistema, están íntimamente relacionadas y que puede intercambiar su importancia. Esto pone de manifiesto la necesidad de un análisis más riguroso a la hora de relacionar conceptos como conectividad y estabilidad de un sistema. En el capítulo 4, se poropone un método para ajustar parámetros de un modelo no-lineal a partir de la respuesta del sistema a pequeñas perturbaciones del estado de equilibrio del mismo. La deducción de la linealización del sistema permite, como se ilustra mediante ejemplos, bien recuperar el sistema original (reacciones químicas) bien reducir la dificultad del ajuste no-lineal global. El capítulo 5, se desarrolla una técnica basada en el segundo método de Lyapunov para la estimación de cuencas de estabilidad de estados estables. La reformulación del problema en términos del determinante de una matriz, no única, permite abordar varias estrategias de simplicicación del problema de optimación no lineal asociado. El capítulo 6 está dedicado a la justificación y exposición de un modelo tridimensional de la biestabilidad en sistemas de pastoreo de zonas semi-áridas. Sobre este modelo se aplica el método desarrollado en el capítulo anterior para obtener una imagen aproximada de la dinámica del sistema. El trabajo termina con un resumen de las conclusiones de cada uno de los apartados y la bibliografía utilizada.

Autor: PUIG SADURNÍ JOAQUIM.
Año: 2003.
Universidad: BARCELONA.
Centro de lectura: MATEMATICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÀTIQUES.

Resumen: En esta tesis estudiamos la reducibilidad y otras propiedades dinámicas de "skew-productos" lineales cuasiperiódicos, especialmente aquellos que provienen de ecuaciones de valores propios de operadores unidimensionales y cuasiperiódicos de Schrödinger. Para ello, combinamos métodos dinámicos y espectrales para dar un enfoque unificado y nuevos resultados, tanto desde el punto de vista dinámico como el espectral. Como ejemplo de esta combinación, en esta tesis demostramos el "Problema de los Diez Martinis" propuesto en 1981 por Kac y Simon. Los dos primeros capítulos contiene preliminares, mientras que los otros cuatro resultados novedosos. En el primero introducimos conceptos básicos como los "skew-products" y cociclos cuasiperiódicos, la reducibilidad a coeficientes constantes y la teoría espectral de Sacker-Sell. El segundo acpítulo se centra en los operadores de Schrödinger, ya sean continuos o discretos, y sus ecuaciones de valores propios, que llamamos ecuación de Hill cuasiperiódica (en el caso continuo) o de tipo Harper (en el caso discreto). El tercero y el cuarto capítulos tratan de la estructura de las llamadas "lenguas de resonancia" en ecuaciones de Hill cuasiperiódicas cuyos potenciales son analíticos reales, pequeños y con frecuencias diofánticas. Desde el punto de vista de operadores de Schrödinger, este estudio es equivalente a la de la estructura de los agujeros espectrales en el espectro de dichos operadores. En el tercer capítulo, se usa la teoría de formas normales para mostrar la diferenciabilidad infinita de las fronteras de las lenguas de resonancia de un modo constructivo. En el cuarto, demostramos el carácter analítico real de estas, usando un método KAM que puede adaptarse en otros modelos. Como aplicación demostramos la genericidad de "tener todos los agujeros abiertos" para operadores cuasiperiódicos de Schrödinger. En el quinto y sexto capítulos estudiamos operadores cuasiperiódicos de Schrödinger discretos. En el capítulo V demostramos una vieja conjetura: el "Problema de los Diez Martinis". Usando una combinación de métodos dinámicos y espectrales demostramos que el espectro del operador "Almost Mathieu" es un conjunto de Cantor para casi todos los valores de la frecuencia y constante no crítica. También damos una respuesta paracial al "Problema Fuerte de los Diez Martinis". En el capítulo VI demostramos una versión no perturbativa del teorema de Eliasson sobre la reducibilidad de los cocilos de Schrödinger con potenciales analíticos reales. Finalmente, incluimos un apéndice donde provocamos la divergencia genérica de las formas normales cuasiperiódicas de Birkhoff. La tesis contiene un resumen en catalan, una lista de notaciones e índice.

Autor: SAMA CAMI ANA.
Año: 2003.
Universidad: AUTONOMA DE BARCELONA.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: ESCUELA DE POSTGRADO.

Resumen: En la memoria se distinguen tres partes particulares. En la primera estudiamos algunas cuestiones relaciondas con la estabilidad de las soluciones homográficas del Problema Plano de Tres Cuerpos con cierto potencial homogéneo. Como estamos interesados en la estabilidad de estas soluciones, es necesario calcular los valores propios de la matriz de monodromia. Demostramos que para obtener los multiplicadores característicos no triviales es necesario estudiar un sistema lineal periódico de dimensión cuatro. Este sistema depende de dos parámetros, una excentricidad generalizada e (entre 0 y 1) y un parámetro de masas. Para e=0 el sistema es lineal a coeficientes constantes, mientras que para acercándose a 1, el sistema límite es singular. En la memoria se consideran sistemas un poco más generales y se estudian analíticamente los parámetros de estabilidad para excentricidades pequeñas y para excentricidades cercanas a 1. En el primer caso usamos una técnica de forma normal para estudiar las regiones de estabilidad en función de los parámetros del sistema. Para excentricidades cercanas a 1 se obtienen fórmulas asintóticas para los parámetros de estabilidad. Una vez desarrollada la teoría en estos dos casos, se aplica al caso particular de las soluciones homográficas. La segunda parte está dedicada al Problema Restringido de Tres Cuerpos Espacial (PRTCE). Para este problema estudiamos la existencia de conexiones homoclínicas y heteroclínicas a los toros invariantes contenidos en la variedad central del punto L2 del PRTCE. Con este objetivo consideramos el PRTCE como una perturbación del Problema de Hill tridimensional en un entorno del punto de equilibrio y, fuera de dicho entorno, como una perturbación del Problema Sinódico de Dos Cuerpos Espacial. Finalmente, estudiamos la existencia de toros invariantes en un entorno de los puntos de equilibrio colineales del Problema Plano de Tres Cuerpos con potencial Newtoniano. Con esta finalidad demostramos algunas propiedades del a forma normal del Hamiltoniano reducido a la variedad central 4-dimensional. Usando esta forma normal, comprobamos que se satisfacen las condiciones de no degeneración del teorema KAM para todas las masas positivas, incluido el caso de resonancia 2:1. La evaluación de las condiciones se efectua numéricamente.

Autor: PANTAZI CHARA.
Año: 2003.
Universidad: AUTONOMA DE BARCELONA.
Centro de lectura: CIENCIAS .
Centro de realización: ESCUELA DE POSTGRADO.

Autor: SASTRE SENDRA JOAQUIN.
Año: 2003.
Universidad: VALENCIA.
Centro de lectura: MATEMATICAS.
Centro de realización: FAC. DE MATEMATICAS.

Resumen: La tesis versa sobre la ecuación de Ince-Hill, una ecuación diferencial lineal de 2º orden con coeficientes periódicos que depende de 4 parámetros. En nuestro caso el caso más general es aquella en la que posee 4 singularidades de tipo Fuchs. Es por ello que en el primer capítulo caracterizamos la foliación determinada por un sistema lineal complejo en un entorno de una singularidad de Fuchs. En el segundo capítulo relacionamos los campos vectoriales holomorfos en CPn son singularidad de Fuchs y los lineales en CnH con sigularidad de Fuch. En el cuarto capítulo realizamos una clasificación de las singularidades de la ecuación y estudiamos la estabilidad de la solución trivial.

Autor: LÁZARO OCHOA JOSÉ TOMÁS.
Año: 2003.
Universidad: POLITECNICA DE CATALUÑA.
Centro de lectura: MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA.

Autor: RODRÍGUEZ CONTRERAS JORGE LUIS.
Año: 2002.
Universidad: AUTONOMA DE BARCELONA.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: ESCUELA DE DOCTORADO Y DE FORMACIÓN CONTINUADA.

Resumen: Dada la ecuación diferencial de tercer orden x + ax + ab + f(x) = 0 se establece el tipo del punto de equilibrio en términos de las parámetros a,b, y c y se reduce el sistema a una forma normal mediante un cambio lineal de coordenadas. Se construye una función de Lyapunov para el sistema lineal y por analogía se obtiene para el sistema no lineal una función definida con derivada menor que cero, demostrando con ello que la solución trivial es globalmente asintóticamente estable. Teniendo en cuenta que ab4b, a la región limitada por la esfera atractora se le quita una región cónica-cilindrica formando así una región tridimensional cerrada topológicamente equivalente al toro sólido. El campo vectorial tiene dirección en todos los puntos de la frontera hacia el interior de la región y del teorema del punto fijo de Brouwer se establece la existencia de una órbita cerrada alrededor del toro. En el caso f(-x)=f(x) al reemplazar la función f(x) por f(x+Bsinwt) para valores de B y W suficientemente grandes se prueba que el sistema no tiene movimiento oscilatorio de gran amplitud.

Autor: MUÑOZ ALMARAZ FRANCISCO JAVIER.
Año: 2002.
Universidad: SEVILLA.
Centro de lectura: ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS.
Centro de realización: ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS.

Resumen: En esta tesis se aportan resultado sobre la contaminación (o persistencia) de órbitas periódicas en sistemas de ecuaciones diferenciales que poseen integrales primeras (o cantidades conservadas), como es el caso de los sistemas hamiltonianos. Se obtienen resultados en la línea marcada por los trabajos de Sepulchre & MacKay (1997) que caracterizan geométricamente condiciones que aseguran la persistencia y permiten aplicar técnicas de contaminación numérica. Los resultados expuestos en esta tesis han sido parcialmente publicados en la revista Physica D (2003). Además técnicas de continuación de órbitas periódicas se abordan también las dos de otros tipos de objetos dinámicos (equilibrios, órbitas periódicas relativas, órbitas periódicas simétricas respecto de una reversibilidad, …). La tesis está estructurada en tres capítulos. En el primer capítulo se desarrollan los resultados teóricos sobre continuación entrelazados con la exposición de los conceptos de la teoría general de sistemas dinámicos usados. En los dos capítulos posteriores se ilustran las ideas del primer problema con aplicaciones a diferentes tipos de sistemas procedentes de la mecánica. En el capítulo 2 se estudian sistemas integrables: un modelo sencillo polinómico, un modelo de pozos cuánticos en la aproximación del campo medio y el péndulo de Furuta. En el capitulo 3 se muestran familias de órbitas periódicas calculadas tomando como punto de arranque la solución recientemente encontrada por Chenciner & Montgomery (2000) para el problema de los tres cuerpos.

Autor: FERNÁNDEZ SÁNCHEZ FERNANDO.
Año: 2002.
Universidad: SEVILLA.
Centro de lectura: ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS.
Centro de realización: ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS.

Resumen: En esta tesis se analizan algunos comportamientos de bifurcación relacionados con la aparición de ciertas conexiones globales en sistemas tridimensionales parametrizados de ecuaciones diferenciales ordinarias. La dinámica compleja organizada por este tipo de conexiones les hace ser un perfecto objeto de estudio con el propósito de obtener y comprender nuevos fenómenos de bifurcación. La conexión global más ampliamente tratada en la memoria se corresponde con un ciclo heteroclino de codimensión dos que se construye sobre dos equilibrios tipo silla-foco (cuyas configuraciones de estabilidad son contrarias) cuando las variedades unidimensionales de ambos equilibrios coinciden mientras que las variedades bidimensionales tienen una intersección transversal. Un punto del espacio de parámetros donde se da una conexión como ésta se denomina punto-T entre dos equilibrios de tipo silla-foco, y aparece en multitud de escenarios, que van desde un oscilador electrónico de van der Pol-Duffing modificado hasta el sistema de Rössler, pasando por la ecuación de Chua, entre otros modelos. El primero de los capítulos de la memoria se dedica a desarrollar un método de estudio, basado en la construcción de una aplicación de Poncaré, para el punto-T; mediante un cambio global de variables se pueden simplificar las expresiones del sistema de ecuaciones en las cercanías de los dos equilibrios tipo silla-foco, lo que nos permite elegir unas secciones transversales al flujo apropiadas, sobre la que se construye, componente a componente, la aplicación de retorno completa sin descartar los términos de orden alto. Una vez obtenida dicha aplicación se utiliza para probar la existencia y localizar en un entorno del punto-T, en el espacio de parámetros, otras conexiones globales. El capítulo concluye con el análisis de la influencia que tiene la simetría respecto del origen del espacio de fases (muy común en los sistemas analizados) en la existencia de otras nuevas conexiones globales. El segundo capítulo se dedica al estudio de la existencia de órbitas periódicas y sus bifurcaciones cerca del punto-T. En particular se prueba la existencia de bifurcaciones tipo silla nodo de órbitas periódicas, independientemente del valor de los cocientes de Shil'nikov de los equilibrios, así como la de cúspides a primer orden. Motivado por un análisis numérico posterior, aparecen ciertas degeneraciones de la bifurcación punto-T que son tratadas en el tercer capítulo. En la primera de ellas se analiza el paso de uno de los equilibrios que forman el ciclo heteroclino por una bifurcación de Hopf, así como las consecuencias que esto tiene para la aparición de nuevas conexiones globales que involucran a la órbita periódica que nace en dicha bifurcación de Hopf. Los otros dos comportamientos analizados se originan por pérdidas de transversalidad, bien en una curva de puntos-T en el espacio triparamétrico, bien de la intersección entre las variedades bidimensionales de los equilibrios. En el cuarto capítulo se realiza un compendio de resultados numéricos obtenidos en los tres sistemas mencionados previamente. Varios de estos fenómenos observados ilustran los resultados obtenidos en el análisis teórico de los capítulos anteriores, mientras que aparecen otros nuevos comportamientos, involucrados órbitas periódicas y conexiones globales, que son también estudiados.

Autor: ROS PADILLA FRANCISCO JAVIER.
Año: 2002.
Universidad: SEVILLA.
Centro de lectura: ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS.
Centro de realización: ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS.

Resumen: En esta tesis se estudian los sistemas bi y tridimensional continuos lineales a trozos simétricos definidos en tres zonas (S3CPL). Tales tipos de sistemas aparecen con frecuencia en el modelado de diferentes dispositivos electrónicos y de control. Las soluciones de éstos pueden obtenerse de forma explícita en cada una de las zonas donde el sistema es lineal, pero el comportamiento dinámico del mismo no es sencillo pues la unión de los flujos de los sistemas lineales que definen al sistema lineal a trozos está lejos de ser trivial. Por otra parte, la falta de diferenciabilidad del sistema impide, en un principio, la aplicación de las técnicas generales de la dinámica diferenciable, y por tanto, los sistemas lineales a trozos requieren el uso de técnicas específicas que permitan describir su comportamiento dinámico. El segundo capítulo de la memoria considera, a la luz de los conceptos clásicos de la teoría de control, formas canónicas para los sistemas S3CPL. Esto es, se obtienen sistemas equivalentes al inicial mediante cambios lineales con un menor número de parámetros y con la pretensión de que resulten más fáciles de analizar. En el tercer capítulo se describen dos técnicas adecuadas para el análisis de sistemas lineales a trozos: el método de las ecuaciones de cierre y balance armónico. La primera de ellas ha demostrado ser una herramienta muy potente y constituye la principal aportación de la presente tesis. A partir de este punto, utilizando las técnicas del capítulo tercero, se analizan dos fenómenos que generan ciclos límites simétricos respecto al origen en los sistemas S3CPL observables. El primero de ellos, denotado como bifurcación foco-centro-ciclo límite, considera la aparición del ciclo límite desde la configuración de centro en la zona interna de comportamiento lineal. El segundo fenómeno, denotado como bifurcación de Hopf del infinito es un mecanismo generador de ciclos límite de gran amplitud. Tales tipos de bifuraciones son estudiadas de forma sistemática a partir de las denominadas ecuaciones de cierre. Éstas permiten demostrar, bajo condiciones de no degeneración, la existencia y unicidad del ciclo límite que bifurca. La estabilidad del mismo se determina a partir de la semejanza, dada en el capítulo tres, entre el producto de exponenciales de matrices y la diferencial de la aplicación de Poincaré. Para el caso tridimensional se analiza la degeneración de las bifurcaciones señaladas, encontrándose una bifurcación silla-nodo de órbitas periódicas. El estudio teórico confronta, incluyendo la posibilidad de degeneración, la bifurcación foco-centro-ciclo límite con la bifurcación de Hopf. Se analizan sus diferencias y similitudes tanto para los sistemas planos y como los tridimensionales. Los aspectos teóricos de la memoria se completan con la aplicación de los mismos a circuitos electrónicos bien conocidos, como son el circuito en puente de Wien y el circuito de Chua.

Autor: ALONSO GONZÁLEZ CLEMENTA.
Año: 2002.
Universidad: VALLADOLID.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: El objetivo de esta memoria es aportar resultados sobre la clasificación topológica de la dinámica asociada a campos de vectores analíticos reales en dimensiones tres desde una perspectiva semi-local. La motivación principal es la de buscar un análogo al teorema de Hartman-Grobman en situaciones de campos de vectores con parte lineal nula. En dimensión dos tal análogo ha sido desarrollado pro Brunella y Miari. En dimensiones tres se presentan dos dificultades de diversas naturaleza. En esta memoria se aborda una de ellas; el estudio topológico de las conexiones rígidas de sillas en dimensión tres a lo largo de un divisor con cruzamientos normales en un ambiente tridimensional.

Autor: PACHA ANDÚJAR JUAN RAMÓN.
Año: 2002.
Universidad: POLITECNICA DE CATALUÑA.
Centro de lectura: MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS Y ESTADÍSTICA.

Resumen: Este trabajo se encuadra en el marco de los sistemas dinámicos hamiltonianos de tres grados de libertad. En ese contexto se consideran familais de órbitas periódicas con una transición estable-complejo inestable. Así: sea L el parámetro que describe la familia. Supondremos que para valores del parámetro más pequeño que un cierto valor crítico L', los multiplicados característicos de las órbitas periódicas correspondientes se sitúan sobre el círculo unidad en el plano complejo. Cuando L=L', estos colisionan en pares conjutados (y diremos que la órbita periódica correspondiente es resonante o crítica). Finalmente, para L>L', los multiplicadores abandonan el círculo unidad hacia el plano complejo (colisión de Krein con signatura opuesta). Por otra parte, y a raíz de estudios numéricos (citaremos los llevados a cabo por D.Pfenniger, en Astron. Astrophys. 150pp. 97-111, 1985) se conoce, bajo ciertas condiciones de inconmensurabilidad, la aparición de fenómenos de bifurcación cuasiperiódica ligados a este tipo deinestabilización. De manera más precisa, surgen familias de toros 2D de un modo que recuerda la bifurcación de Andronov-Hopf clásica: emergen objetos linealmente estables (toros 2D elípticos) "alrededor" de objetos inestables de dimensión más baja (órbitas periódicas hiperbólicas), caso que se conoce como bifurcación directa, o bien, "alrededor" de órbitas periódicas elípticas (estables) bifurcación toros 2D hiperbólicos (y hablamos entonces de bifurcación inversa). Nuestro objetivo es entender la dinámica local alrededor de la órbita periódica resonante a fin de probar, analíticamente, la existencia de los toros invariantes bifurcados según el modelo descrito arriba. Este próposito se desarrolla en tres etapas: 1,- Primero y de manera constructiva (se establecen algoritmos explícitos) obtenemos --a orden arbitrario, r--, una forma normal en un entorno de la órbita periódica crítica. De este modo, transformamos el Hamiltoniano en la suma de una parte integrabale (la forma normal) y un resto no integrable que podremos considerar como una perturbación. A partir de aquí se estudia la dinámica de la forma normal (prescindiendo del resto) y se identifican los parámetros que controlan tanto la existencia de la bifurcación como su tipología (directa, inversa). Señalaremos que este primer punto no es sólo qualitativo, sino que nos permite derivar parametrizaciones muy precisas de los toros no perturbados. 2,- A continuación, se calculan acotaciones "óptimas" del resto, a partir de las cuales se podrá probar que un buen número (en el sentido de la teoría de la medida) de los toros de la parte integrable se preservan cuando se añade la perturbación. 3,- Por último, aplicamos métodos KAM para establecer, en el caso de la bifurcación directa, que la mayoría (ver comentario anterior) de los toros bifurcados "sobreviven" cuando se añade el resto y se considera el hamiltoniano completo.

Autor: BENZAL M. GRACIELA.
Año: 2002.
Universidad: POLITECNICA DE CATALUÑA.
Centro de lectura: MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAT DE MATEMÁTIQUES I ESTADÍSTICA.

Resumen: La presente tesis en Matemática Aplicada consiste en la aplicación de la metodolgoía de los sistemas dinámicos a procesos químicos de recuperación de metales mediante membranas líquidas soportadas, por lo que la misma presenta un carácter claramente interdisciplinar. Las muestras líquidas soportadas constituyen una nueva tecnología que permite el enriquecimiento o la separación de componentes, en forma selectiva, a partir de mezclas gaseosas o disoluciones. Una alternativa para mejorar la efectividad de la teoría de separación consiste en la utilización de un líquido inmiscible como membrana que actúa como barrera semipermeable entre dos líquidos o gases que contienen las especies a separar. De lo que ha surgido la tecnología de separación mediante membranas líquidas soportadas, que en la nomenclatura internacional se denominan con las siglas LSM (Supported Liquid Membrane). Desde un punto de vista aplicado, la investigación de las membranas líquidas soportadas tiene múltiples aplicaciones, tanto a nivel de laboratorio como de aplicación en distintos campos, entre los que se pueden destacar, la industria, la Biomedicina y el tratamiento de aguas residuales, entre otros. El objetivo principal de la tesis es encontrar un modelo matemático que describa la dinámica del transporte y la selectividad de metales mediante las membranas líquidas soportadas, tanto en configuración plana FSSLM (Flat Sheet Support Liquid Membrane), como en configuración de módulo de fibras huecas HFSLM (Hollow Fiber Supported Liquid Membrane). En segundo lugar, a partir del modelo propuesto, simular los resultados obtenidos mediante algoritmos computacionales, a fin de comparar los resultados teóricos con los experimentales y estudiar la validez del mismo. Finalmente, analizar la influencia de las principales variables de interés e interpretar los parámetros que se obtienen a partir de la solución analítica del modelo matemático propuesto para ambas configuraciones. En esta tesis se propone un modelo matemático en estado no estacionario para la evolución de la concentración de metal en las diferentes fases de una SLM. Se deduce, además, una expresión matemática para la concentración de la especie responsable del transporte, que explica la dinámica del transporte del metal, desde el tiempo inicial hasta el estado estacionario. Por otra parte, el modelo propuesto tiene en cuenta la cinética de las reacciones químicas, a partir de la cual se obtienen puntos de equilibrios y parámetros que controlan la velocidad del proceso de transporte. Mediante la simulación implementada a través de un algoritmo comptuacional se analiza la dinámica del transporte en las diferentes fases y se comprueba la validez del modelo mediante datos experimentales. Todos los resutlados obtenidos a partir de la modelización se interpretan desde el punto de vista químico. A partir de los resultados teóricos obtenidos, sin necesidad de recurrir a la experimentación, es posible estimar el porcentaje de metal, conociendo la concentración inicial de metal y el valor del punto de equilibrio que representa la concentración del metal en el estado estacionario. Para las membranas líquidas soportadas en configuración de módulo de fibras huecas, a partir de las modelización se ha obtenido una relación simple entre los caudales responsables del transporte. En esta relación intervienen tanto parámetros difusionales, como los coeficientes de difusión de las fases acuosas, así como factores geométricos del módulo de fibras huecas que vienen especificados de fábrica. Se propone así la aplicación de esta relación de caudales en el diseño de una futura experimentación.

Autor: LÓPEZ GARCÍA M. INMACULADA.
Año: 2002.
Universidad: ALMERIA.
Centro de lectura: CIENCIAS EXPERIMENTALES.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS EXPERIMENTALES.

Resumen: El objetivo de esta memoria es la aplicación de la teoría de sistemas matemáticos para revelar importantes propiedades cualitativas de distintos modelos dinámicos de evolución. Se presentan resultados para la observabilidad y controlabilidad de modelos de interés desde el punto de vista biológico, de manera que introduciendo controles apropiados se puede concluir la población hacia estados deseados. Una dificultad básica en el estudio de los modelos considerados es la no linealidad de los mismos y una importante característica es que son dependientes de las frecuencias, lo que hace necesario probar que el interior del simplex del espacio de estados del sistema es una variedad invariante. En dichos modelos, relacionados con la genética de poblaciones y la teoría de juegos evolucionarios, aplicando técnicas de análisis no lineal, se obtienen resultados locales que aportan condiciones suficientes para la observabilidad y la controlabilidad mucho más manejables que las recogidas en la literatura actual. Este estudio se completa considerando modelos en los que interviene un factor de mutación: analizando la optimización de la aptitud media en un modelo con selección artificial y presentando numerosos ejemplos de los resultados generales, llevando a cabo la resolución numérica de algunos de los problemas estudiados mediante el programa informático Mathematica 4.0.

Autor: CARMONA CENTENO VICTORIANO.
Año: 2001.
Universidad: SEVILLA .
Centro de lectura: ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS.
Centro de realización: ESCUELA SUPERIOR DE INGENIEROS.

Resumen: En esta tesis se estudian los sistemas n-dimensionales continuos lineales a trozos definidos en dos zonas (2CPLn). Las soluciones de estos sistemas pueden obtenerse de forma explícita en cada una de las zonas donde el sistema es lineal, pero el comportamiento dinámico de tal sistema no es sencillo pues la unión de los flujos de los sistemas lineales que definen al sistema lineal a trozos está lejos de ser trivial. Por otra parte, la falta de diferenciabilidad del sistema impide, en un principio, la aplicación de las técnicas generales de la dinámica diferenciable, y por tanto, los sistemas lineales a trozos requieren el uso de técnicas específicas que permitan describir su comportamiento dinámico. El primer capítulo de la memoria considera formas canónicas para los sistemas 2CPLn, es decir, se obtienen sistemas equivalentes al inicial mediante cambios lineales con un menor número de parámetros y con la pretensión de que resulten más fáciles de analizar. Se introducen nuevas formas canónicas en las que la no linealidad se concentra en una sola de las ecuaciones del sistema. Seguidamente se estudian las formas canónicas a la luz de los conceptos clásicos de la teoría de control y se proponen nuevas formas, no aparecidas en la literatura, para los sistemas observables y no controlables. En la última sección del primer capítulo se aplican las formas canónicas a los sistemas lineales a trozos con dos y tres variables de estados. El Capítulo 2 se centra en el estudio de la aplicación de Poincaré, definida como la composición de las semiaplicaciones de Poincaré. Se analizan algunas propiedades de la diferencial de tal aplicación, prestando especial atención al caso bidimensional. En el Capítulo 3 se extiende la teoría de Melmikov a los sistemas planos continuos y diferenciables a trozos. Esta técnicas se emplea con frecuencia en los sistemas 2CPL2, aunque en la literatura tal uso no aparece convenientemente justificado. Las últimas secciones del tercer capítulo se aplican al estudio de sistemas planos lineales a trozos bizonales y trizonales con simetría, obteniéndose conjuntos de bifurcaciones locales para tales sistemas. El Capítulo 4 analiza los sistemas homogéneos de clase 2CPLn. Se prueba que la aplicación de Poincaré transforma semirrectas contenidas en el hiperplano de separación que pasan por el origen en semirrectas del mismo tipo. Si una de estas semirrectas es invariante mediante la aplicación de Poincaré, entonces el sistema posee un como invariante bizonal. Se demuestran resultados de existencia, unicidad y estabilidad de conos invariantes, así como algunos resultados de estabilidad asintótica para el origen. En el Capítulo 5 se estudian los sistemas 2CPL3 no observables o no controlables. Para un sistema observable no controlable cuyas matrices comparten un par de autovalores complejos conjugados, el estudio del sistema tridimensional puede reducirse al análisis de una ecuación lineal a trozos forzada periódicamente. El estudio de esta ecuación reducida nos permitirá determinar la dinámica del sistema tridimensional. En este sistema puede que no aparezcan movimientos oscilatorios, pero si los hay, entonces el sistema posee un continuo de órbitas periódicas. En la última sección del capítulo se realizan varias simulaciones perturbando el sistema estudiado y a partir de estas simulaciones se observan la riqueza en el comportamiento dinámico para los sistemas 2CPL3.

Autor: SADOVSKAIA NURIMANOVA NATALIA.
Año: 2001.
Universidad: POLITECNICA DE CATALUÑA.
Centro de lectura: MATEMATICAS.
Centro de realización: FACULTAT DE MATEMÁTICAS Y ESTADISTICA.

Resumen: La historia de los problemas inversores en la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias comienza cuando Newton planteó el problema sobre la construcción del campo de fuerzas que hace que los planetas se muevan alrededor del Sol de acuerdo a las leyes de Kepler. El objetivo de la presente tesis es, desarrollando las ideas de Bertrand, Darboux, Joukovski, Suslov, Eruguín, Galiullin, Szebehely, plantear y analizar los siguientes problemas: Problema de Dainelli-Suslov. Sea M sistema mecánico con espacio de configuración X de dimensión N y energía cinética. Se requiere construir el campo de fuerza de tal forma que las ecuaciones de movimiento sean lagrangianas y las funciones. Sean sus integrales particulares, donde v es un cierto campo visual. Problema de Eurguin-Galiullin. Sean Funciones dadas, continuamente derivables en D C Rn. Se requiere construir el sistema de ecuaciones diferenciales. De tal forma que las funciones dadas sean sus integrales particulares. Los resultados obtenidos son los que sigue: * Se determinan los enfoques lagrangianos y cartesianos para sistemas mecánicos con enlaces lineales respecto a las velocidades. * Se generaliza el problema de Dainelli y Joukovski para sistemas con N grados de libertad y se propone un nuevo enfoque para resolver el problema de Suslov. * Se construyen campos vectoriales en Rn en base a integrales particulares dadas. Se determinan los campos polinomiales en el plano en base a integrales particulares algebráicas dadas, se analiza la integrabilidad en el sentido de Darboux. * Se estudia el problema 16 de Hilbert para cíclos límites algebráicos.

Autor: ÁLVAREZ LÓPEZ JORGE.
Año: 2001.
Universidad: VALLADOLID .
Centro de lectura: INGENIEROS INDUSTRIALES.
Centro de realización: E.T.S. DE INGENIEROS INDUSTRIALES.

Resumen: Se presenta una nueva familia de métodos explícitos para problemas de valores iniciales formulados en términos de EDOs de primer y segundo orden. Los métodos pueden ser vistos como una generalización de los conocidos métodos Runge-Kutta (en el caso de primer orden) y Runge-Kutta-Nystión (para segundo orden). Se muestra que es posible obtener métodos de 2 etapas y orden 3 y fórmulas de 3 etapas y orden 5 (4 en el caso de sistemas) para EDOs de primer orden y con bunas propiedades de estabilidad lineal (A y L-estabilidad). Para EDOs de segundo orden, se obtienen fórmulas de orden 4 y 2 etapas, alguna de las cuales integra exactamente osciladores. Algunos de los métodos considerados son óptimos con respecto al error bocal de --. En el caso de EDOs de primer orden se muestra como es posible obtener métodos de la familia considerada a partir de funciones de estabilidad lineal prefijado. Finalmente, diversos experimentos numéricos ilustran el comportamiento de los métodos propuestos y los comparan con otros ya existentes.

Autor: AROCA BISQUERT FUENSANTA.
Año: 2000.
Universidad: VALLADOLID.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FAC. CIENCIAS. UNIV. DE VALLADOLID.

Resumen: El objetivo de la memoria en estudiar métodos de resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y grado arbitrario. Se utilizan dos métodos para el estudio de la ecuación diferencial f(x,y,y´)=0: 1. Considerar la ecuación f(s,y,y´)=0 como la superficie X de ecuación f(x,y,z)=0 junto con la forma diferencial dy-zdx, y de esta forma resolver la ecuación diferencial a partir de parametrizaciones de las superficie X. El capitulo 4 esta dedicados a la descripción de un metodo explicito,utilizando poliedros de Newton, para la obtención de las parametrizaciones. Estas parametrizaciones se dan en términos de sieres de potencias formales con exponantes en conos, clarificando y obteniendo nuevos resultados con respecto al trabajo de McDonald. En los tres primeros capítulos se relacionan las series formales con exponentes en conos con las transformaciones cuadráticas, dando así contenido geométrico a dichas series. Se estudia la convergencia de las soluciones, analizando mediante la prueba de un lema de Abel para estas series, la estructura de los conjuntos de Reinhardt de convergencia de las series con exponentes en conos. Mediante la clasificación de los recubrimientos del toro se prueba que esencialmente dichos dominios son las cuñas descritas por Zariski mediante las transformaciones cuadráticas. En el capítulo 5 se generalizan las técnicas desarrolladas anteriormente para la obtención de soluciones de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, lineales y no lineales. Este método cubre anto el caso singular como el regular(Cauchy-Kowaleski). En los ejemplos, se muestra como en muchos casos las soluciones obtenidas son polinómicas. El algoritmos descrito ha sido implementado en MAPLE. 2. Considerar la ecuación como el lugar de ceros de una función definida sobre el fibrado tangene. Así, la ecuación diferencial se entiende como una sección de una algebra libre de presentación finita, cuya espectro analítico es el fibrado tangente a C 2. Una transformación cuadrática en la base induce una transformación bimeromorfa del fibrado tangente que induce una transformación bimeromorfa que conmuta con el discriminante. Esta observación abre abre camino a, mediente transformaciones cuadráticas, reducir las ecuaciones diferenciales ordinarias a ecuaciones con sigularidades del tipo cuasi-ordinario. Es último capítulo de la memoria está dedicado al estudio de los fibrados tangentes a espacios singulares con la ayuda del espectro analítico.

Autor: MARTIN DEL REY ANGEL M..
Año: 2000.
Universidad: NACIONAL DE EDUCACION A DISTANCIA.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: U.N.E.D..

Resumen: El objeto de la Tesis es el estudio de los invariantes diferenciales de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer y segundo orden. Un invariante diferencial es un funcional que asigna a cada ecuación diferencial una función que es invariante mediante cambios de variable. El problema de la determinación de los invariantes diferenciales se reduce al cálculo de un sistema maximal de integrales primeras funcionalmente independientes de una distribución involutiva en un apropiado fibrado de jets. Ello permite computar el numero de invariantes independientes que existen en cada orden.