SISTEMAS COMPLETOS DE DESIGUALDADES .
Autor: SALINAS MARTÍNEZ GUILLERMO.
Año: 2001.
Universidad: MURCIA.
Centro de lectura: MATEMÁTICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMÁTICAS
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Resumen: El trabajo de investigación realizado en esta tesis doctoral ha estado dedicado
al estudio de diversos problemas de optimización en la geometría de cuerpos convexos del espacio euclídeo n-dimensional, con el fin de obtener desigualdades, geométricas que permitan una caracterización completa de los conjuntos admisibles,
determinando, en los casos en los que ha sido posible, los conjuntos extremales.
Cuando se dispone de una familia de desigualdades geométricas que permite dicha caracterización, se dice que se tiene un sistema completo de desigualdades. Más concretamente, un sistema completo de desigualdades es una familia finita de r
desigualdades relacionando m magnitudes geométricas de forma que, para cualquier colección de m números positivos verificando las r condiciones, se puede garantizar la existencia de, al menos, un conjunto convexo cuyas m magnitudes geométricas
tienen los valores predeterminados.
El primer antecedente en el estudio de este problema lo encontramos en un trabajo de Blaschke quien, en 1916, se planteó la búsqueda de un sistema completo de desigualdades que relacionase el volumen de un conjunto convexo del espacio euclídeo
tridimensional con el área de su superficie y la integral de su curvatura media; este problema continúa aún abierto en la actualidad.
Posteriormente, en 1961, Santaló estudió los primeros sistemas completos de desigualdades para conjuntos convexos del plano euclídeo que relacionasen cualquier terna de las siguientes magnitudes geométricas: el área del conjunto (A), la
longitud de su perímetro (p), el inradio ®, el circunradio (R), la anchura (w) y el diámetro (d). De los 20 casos posibles que se pueden plantear, Santaló resolvió 6, quedando pendientes 14 como problemas abiertos. Recientemente, Hernández Cifre y
Segura Gomis han resuelto 5 de ellos, quedando por tano 9 casos sin resolver.
Uno de los resultados más importantes que hemos obtenido en nuestro trabajo de investigación y que recogemos en esta memorias es la resolución completa de dos de estos caso: (A, R, r) y (p, R, r). Para ello, hemos demostrado todas las
desigualdades necesarias relacionando las tres medidas geométricas correspondientes a cada uno de los casos, ya que hasta el momento no se conocía ninguna de ellas.
Además, realizamos un estudio parcial de los 7 casos que todavía permanecen abiertos, obteniendo nuevas desigualdades geométricas para cada uno de ellos que permiten determinar así parte del sistema completo.
En 1980, en su libro Geometric inequalities, Burago y Zalgaller plantearon este problema en su forma más general, al contemplar el estudio de los sistemas completos de desigualdades, no sólo para la clase de los conjuntos convexos, sino para
cualquier familia de conjuntos en la que este problema tenga sentido y que puedan tener un especial interés. Esto nos ha llevado a plantearnos el estudio de sistemas completos de desigualdades para las familias de los conjuntos convexos planos
3-rotacionalmente simétricos y centralmente simétricos. Estas dos clases de conjuntos poseen gran interés geométrico por muy diversas razones. Se puede destacar, por ejemplo, que gracias a la simetría que presentan satisfacen numerosas propiedades
geométricas; además, la gran mayoría de los conjuntos extremales que aparecen en problemas de optimización para conjuntos convexos planos generales presentan uno de estos tipos de simetría: central ó 3-rotacional. Por tanto, conocer un sistema
completo para alguna de estas familias puede servir de ayuda en la resolución del problema para el caso de los conjuntos convexos generales.
Otro resultado interesante es la obtención de dos sistemas completos de desigualdades para conjuntos convexos centralmente simétricos del espacio euclídeo de dimensión arbitraria, siendo éstos los únicos sistemas completos que se han podido
determinar hasta la fecha para conjuntos convexos n-dimensionales.
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