GEOMETRIA DIFERENCIAL

Autor: Domingo Juan Carmen.
Año: 2004.
Universidad: VALENCIA.
Centro de lectura: Facultad de Matemáticas.
Centro de realización: Facultad de Matemáticas.

Resumen: En este trabajo generalizamos la noción de movimiento (dad por Gray y Miquel para curvas) a lo largo de una subvaoiedad P de una variedad riemanniana. Primero nos centramos en el caso de una forma espacial real de dimensión n. Consideramos un dominio D obtenido por el movimiento a lo largo de una subvariedad P de un dominio D_p en la subvariedad totalmente geodésica de dimensión complementaria a la de P que es q y ortogonal a P. Calculamos la fórmula del volumen de D obteniendo las siguientes consecuencias: * el volumen de D sólo depende de la segunda forma fundamental de P (generaliza el rtesultado cualitativo de Gray y Miquel para curvas). * si el dominio a mover tiene q-centro de gravedad sobre la subvariedad, entonces el volumen no depende de la curvatura media de P, sólo depende de las curvaturas nedías de orden superior. * si el dominio a mover es q-simétrico (definición que damos en este trabajo), entonces el volumen de D no depende de la inmersión de P (con lo que generalizamos la expresión del volumen de un tubo de Weyl). Continuando con dominios, pero ahora en formas espaciales complejas de dimensión real 2n, calculamos la fórmula del volumen de un dominio D obtenido por el movimiento holomorfo (cuya definición damos) de un dominio D_0 a lo largo de una curva compleja P, cuyas consecuencias son: * para cualquier dominio D en la forma espacial compleja de dimensión real 4, el volumen sólo depende de las geometrías intrínsecas de P y D_p. * para una familia muy amplia de curvas complejas de una forma espacial compleja de dimensión real 2n, existe un movimiento holomorfo, que llamamos de Frenet, para el que el volumen de D depende sólo de las geometrías intrínsecas de P y D_p. * el volumen de D no depende del movimiento para curvas complejas si y sólo si el momento cuadrático (que aparece en la expresión del volumen) es constante. Demostramos que el momento cuadrático equivale a ciertas simetrías integrales de D_p. Pasando a las hipersuperficies, calculamos la fórmula del volumen de una hipersuperficie C obtenida por el movimiento a lo largo de un acurva de una hipersuperficie C_p en la subvariedad totalmente geodésica ortogonal a P y de dimensión complementaria a la de P. Como consecuencias tenemos: * el volumen de C depende de todas las k+1-ésimas formas fundamentales de P, lo que no sucede si C_p es q-simétrica. * obtenemos una cota inferior para el volumen de C cuando C_p es q-simétrica. Fijando movimientos a lo largo de curvas tenemos: *el movimiento paralelo da el mínimo valor para el volumen de C. * el movimiento paralelo es el único que da ese mínimo volumen. Damos, además, otros resultado de este tipo para hipersuperficies obtenidas por movimientos a lo largo de subvariedades de una forma espacial real.

Autor: MARTINEZ TORRES DAVID F..
Año: 2002.
Universidad: CARLOS III DE MADRID .
Centro de lectura: ESCUELA POLITECNICA SUPERIOR.
Centro de realización: UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID.

Resumen: En esta tesis se han estudiado tres problemas para determinadas geometrías cuyo estudio --debido por ejemplo a la ausencia de invariantes locales-esta intimamente relacionado con la topología de la variedad ambiente. El primer problema es la riqueza de la geometría, entendida como la existencia de construcciones compatibles de geometría diferencial. Hemos introducido la noción de variedades 2-calibradas, una generalización impar de la geometría simpléctica, y demostrado la existencia de sistemas lineales genéricos compatibles con la estructura mediante el desarrollo de técnicas de geometría aproximadamente holomorfa. La segunda cuestión ha sido las posibles obstrucciones topológicas a la existencia de estructuras de Poisson regulares en variedades compactas. En este sentido se ha dado un método de construcción de variedades de Poisson regulares con grupo fundamental arbitrario, demostrándose que este no obstruye la existencia de tales estructuras. La última cuestión abordada ha sido la de la clasificación, que se ha obtenido para estructuras de Nambu genéricas en variedades compactas orientadas.

Autor: YÁNIZ FERNÁNDEZ FRANCISCO JAVIER.
Año: 2002.
Universidad: POLITECNICA DE CATALUÑA.
Centro de lectura: MATEMÁTICAS .
Centro de realización: FACULTAT DE MATEMÁTIQUES I ESTADÍSTICA.

Resumen: El tratamiento intrínseco de cuestiones relacionadas con la Teoría de Control no lineal a través de la aplicación de técnicas propias de la geometría diferencial ha sido en los últimos años un tema de interés para muy diversos grupos de investigación. Cuestiones como controlabilidad de sistemas, seguimiento y estabilización de trayectorias, planificación de movimientos, etc, han dado lugar a un gran número de trabajos obtenidos desde puntos de vista muy variados. La línea en la que se desarrolla esta tesis es el estudio de la formulación y las propiedades geométricas de sistemas mecánicos y sistemas no holónomos y las consecuencias que para su control se derivan. Se estudia, en primer lugar, la estabilidad de los sistemas mecánicos disipativos y parcialmente disipativos desde un punto de vista geométrico. Ya que el ambiente geométrico apropiado para llevar a cabo este estudio son las variedades de Riemann, lo primero que se aborda es la generalización de los teoremas de estabilidad y estabilidad asintótica de La Salle de puntos de equilibrio de sistemas dinámicos al caso de variedades de Riemann completas. Posteriormente esta generalización se amplia al caso de subvariedades de puntos de equilibrio. Con las herramientas antes desarrolladas, se trata la estabilidad de los sistemas mecánicos simples no holónomos, es decir, aquellos en los que el espacio de configuraicón es una variedad de Riemann, la Lagrangiana es de tipo mecánico y la subariedad de ligaduras viene definida por una distribución no integrable. Se generalizan también las propiedades de estabilidad al caso de sistemas langragianos cualesquiera. Por medio de la aplicación de los resultados obtenidos para la estabilidad, se trata la estabilización por pasividad de los sistemas mecánicos con control. Este tipo de técnicas se diseñan para estabilizar puntos de equilibro. También se trabaja el caso de sistemas parcialmente disipativos y se usan extensiones dinámicas para estabilizar el sistema en una configuración deseada. Para ello ha sido necesario interpretar geométricamente la noción de extensión dinámica. Se estudia la generalización de estos resultados a los sistemas mecánicos simples no holónomos con control, centrándose en el diseño de controles que permitan estabilizar un sistema en su variedad de puntos de equilibro utilizando el control por pasividad o en una variedad prefijada mediante extensiones dinámicas. Por otro lado, se analiza la equivalencia entre las ecuaciones de segundo orden que rigen la dinámica de los sistemas mecánicas y las ecuaciones del sistema cinemático asociado, primero en el caso de sistemas no holónomos con control y después en el de sistemas mecánicos con simetrías. En el primer caso si el sistema está completamente actuado se prueba que las curvas solución del sistema mecánico y las del sistema cinemático son las mismas. Si por el contrario es infractuado, hay que imponer una condición sobre las fuerzas exteriores para asegurar la equivalencia débil. En el segundo caso se reduce la dinámica del sistema a la de un sistema no holónomo y se aplican los teoremas de equivalencia del caso anterior. Finalmente, se estudia si mediante la reducción de la formulación de contacto para sistemas lagrangianos dependientes del tiempo que poseen una simetría infinitesimal, se obtiene otro sistema lagrangiano sobre una variedad adecuada. También se trabaja esta situación en el caso de sistemas no holónomos langrangianos dependientes del tiempo con simetría.

Autor: LLINARES FUSTER ELISA.
Año: 2001.
Universidad: VALENCIA.
Centro de lectura: MATEMATICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMATICAS.

Resumen: El procedimiento de definir propiedades geometricas a partir de las caracterizaciones de puntos criticos de funcionales es bastante usual. Alguna de estas propiedades ha sido tan ampliamente estudiada, que tiene entidad propia dentro de la Geometra Riemanniana. Este es el caso de los funcionales energia de aplicaciones y volumen de inmersiones. El objetivo de este trabajo es el estudio variacional de la energia y el volumen para camps de vectores unitarios. Los principales resultados que se obtienen, pueden dividirse en dos grandes grupos. Por un lado, resultados relativos a la primera variacion del volumen:calculo de la diferencial del funcional volumen, caracterizacion de puntos criticos y estudio de algunos casos particulares y ejemplos. Por otro lado, se exponen tambien resultados acerca de la variacion segunda tanto del volumen como de toda una familia de funcionales entre los que se encuentra, como caso particular, la energia. Calculo de los Hessianos y estudio de la estabilidad de los campos de Hopf en esferas de dimension impar.

Autor: SANABRIA CODESAL ESTHER.
Año: 2001.
Universidad: VALENCIA.
Centro de lectura: MATEMATICAS.
Centro de realización: FACULTAT DE MATEMÁTIQUES.

Resumen: Siguiendo el modelo de la geometría dado por Klein, donde las propiedades geométricas de las subvariantes son las características que permanecen invariantes bajo un grupo de transformaciones, aproximamos las subvariedades por objetos geométricos bien conocidos (invariantes bajo dicho grupo de transformaciones) de manera que las características propias del objeto que mejor aproxima a la subvariedad en cada punto determine los invariantes geométricos locales de la subvariedad. Esta idea nos conduce a estudiar las propiedades de las subvariedades bajo el punto de vista conforme analizando sus contactos con las esferas, ya que las transformaciones conformes las dejan invariantes. Un destacado avance que las técnicas introducidas en esta memoria consiste en: * Determinar invariantes conformes para curvas en el espacio Euclido N-Dimensional que generalizan los ya conocidos para curvas planas y en el espacio tridimensional. * Reobtener de manera sencilla y unificada diversos invariantes conformes para hipersuperficies utilizando invariantes conformes a lo largo de las lineas de curvatura. * Delinear un método para determinar invariantes en el caso de subvariedades de codimensión mayor que uno.

Autor: CORTES MONFORTE JORGE.
Año: 2001.
Universidad: CARLOS III DE MADRID.
Centro de lectura: ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR.
Centro de realización: UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID.

Resumen: Se estudia la reducción de la dinámica, el diseño de nuevos métodos numéricos y algunos problemas de control como la controlabilidad y expansiones en serie describiendo la evolución para los sistemas noholónomos. Se desarrolla una formulación casi-Poisson de la reducción y reconstrucción de la dinámica por los sistemas noholónomos con simetría. Estos resultados son instrumentales en nuestro estudio de sistemas de Chaplygin, donde derivamos una condición necesaria y suficiente para la existencia de una medida invariante para la dinámica reducida. Esta condición nos permite refutar una conjetura de Koiller por medio de un sencillo contraejemplo. Se analiza la dinámica de estos sistemas u el establecimiento de una fórmula de salto del momento para los puntos de cambio. La contribución principal es la propuesta de los integradores noholónomos. Estos nuevos algoritmos disfrutan de las mismas propiedades geométricas que su contrapartida continua con respecto a la forma simpléctica, la aplicación momento y el proceso de reducción de la dinámica. Se presentan dos contribuciones relevantes: se caracteriza la controlabilidad en las configuraciones para los sistemas de control mecánicos infra-actuados por un control y extendemos a sistemas con disipación isotrópica resultados previso en el análisis de contrabilidad y expansión en serie.

Autor: FLORES DORADO JOSÉ LUIS.
Año: 2001.
Universidad: GRANADA.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FAC. CIENCIAS (UNIV. GRANADA).

Resumen: En esta tesis se introduce una nueva técnica, que hemos denominado método topológico, para el estudio del problema de la conectividad geodésica en variedades de Lorentz. Esta técnica está basada en argumentos topológicos; concretamente, en la aplicación del grado topológico de Brouwer. Como consecuencia de su aplicación, se obtiene la conectividad geodésica bajo hipótesis generales de la amplia clase de los espaciotiempos multialabeados, que contienen diversos espaciotiempos de interes Relatividad General. En la clase de los espaciotiempos Robertson-Walter Generalizados (RWG) es posible un estudio aún más específico de las geodésicas, lo que permite no sólo caracterizar su existencia sino que además proporciona resultados sobre su multiplicidad, carácter causal, puntos conjugados y relaciones de tipo Morse. Por otra parte, hemos estudiado la conexión de Levi-Civita y las ecuaciones de las geodésicas de los espaciotiempos, obteniendo expresiones que generalizan las de los productos alabeados. Estos resultados los hemos aplicado en el estudio de ciertas regiones relevantes (tanto estacionarias como no estacionarias) del espaciotiempo de Kerr. Por último, nuestro método topológico tamién permite probar la conectividad geodésica de la región exterior del espaciotiempo de Kerr, región que, aunque particular, presenta múltiples dificultades, insalvables hasta ahora por las técnicas anteriores.

Autor: RODRIGO FERNÁNDEZ CÉSAR.
Año: 2001.
Universidad: SALAMANCA.
Centro de lectura: MATEMATICAS .
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: Se desarrolla un formalismo para el cálculo de variaciones con ligaduras de orden superior en variables fibradas a través de la parametrización de las variaciones infinitesimales admisibles mediante operadores diferenciales. Tras formular el problema en términos de una subvariedad de ligadura y un álgebra de variación, se obtienen nuevas fórmulas de la primera y segunda variación, así como la caracterización de secciones críticas mediante ecuaciones de Euler-Lagrange. Se desarrolla también la teoría de Noether de este tipo de problemas así como la correspondiente teoría de tensores de impulso-energía. El estudio de la reducción Lagrangiana de un problema variacional libre lleva a resultados sobre la relación de estos problemas con los problemas ligados que se obtienen por reducción suya mediante morfismos de fibrados. Se muestra la aplicación de esta teoría a los ejemplos del Electromagnetismo, reducción de fibrados principales, fluidos relativistas, subvariedades Lagrangianas H-mínimas y al problema de Lagrange, para el que se obitne la correspondiente forma de Poincaré-Cartan y se establece la relación con la teoría de los multiplicadores de Lagrange.

Autor: COSIN SYLLA CALUDIO PEDRO.
Año: 2000.
Universidad: GRANADA.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMATICAS DE LA UNIVERSIDAD DE GRANADA.

Resumen: SE REALIZA UN ESTUDIO EXHAUSTIVO DE UNA FAMILIA DE SUPERFICIES MINIMALES COMPLETAS DE CURVATURA TOTAL FINITA EN EL ESPACIO EUCLIDEO, OBTENIENDO RESULTADOS DE ESTRUCTURA, EXISTENCIA Y UNICIDAD. SE TRATA DE LA FAMILIA DE LOS R-NOIDES ALEXANDROV-EMBEBIDOS CON TODOS SUS FINALES HORIZONTALES. EN ESTA TESIS SE CONSIGUE PARAMETRIZAR ESTE ESPACIO POR MEDIO DE LOS POLIGONOS INMERSOS EN EL PLANO, GRACIAS A UN DIFEOMORFISMO, ANALITICO GLOBAL.

Autor: CHACON MARTIN PABLO MIGUEL.
Año: 2000.
Universidad: VALENCIA.
Centro de lectura: MATEMATICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMATICAS.

Resumen: Se define la energia de un campo de vectores unitario en una variedad riemanniana como la energia de la seccion que determina. Analogamente, la energia de una distribucion de dimension que es la energia de la sección en el fibrado de q-planos tangentes a la variedad. En este trabajo se estudia ambos funcionales en variedades qe no admiten la definición de los minimos triviales. Es el caso de las esferas de dimension impar mayor que 1. Para campos de vectores, se presenta un teorema que da una cota inferior para la suma de las energias de n campos ortogonales. Para distribuciones se consigue probar un teorema que aplicado a la esfera proporciona una cota inferior parala energia. En un analisis variacional, se demuestra que las fibraciones cuaternionicas de Hopf son puntos criticos inestables. El volumen de un campo de vectores unitario es el volumen de la imagen de la seccion correspondiente en el fibrado tangente. De nuevo, en las esferas de dimension impar no existen minimos triviales. A partir de un teorema válido para variedades arbitarias, se consigue dar una cota inferior no trivial del volumen de campos de vectores unitarios en la esfera. El teorema principal tambien se puede aplicar a los espacios hiperbólicos compactos.

Autor: CORRAL PÉREZ NURIA.
Año: 2000.
Universidad: VALLADOLID .
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: La curva polar representa geométricamente el contacto entre una foliación y las diferentes foliaciones lineales. La memoria está dedicada al estudio de las propiedades topológicas (o de equisingularidad) minimales de la curva polar genérica en términos de la reducción de singularidades de la foliación. Damos una exensión del teorema de descomposición de la polar genérica al caso de foliaciones. Es un resultado de Merle cuando se trata de la polar de una curva plana irreducible y de Kuo-Lu García Barroso para una curva con varias ramas. Existen también resultados paraciales para el caso de foliaciones (Rouillé). Caracterizamos la clase de foliaciones para las cuales un teorema de descomposición de la polar genérica es cierto: son las foliaciones curva generalizada con modelo logarítmico no resonante. El modelo loagrítmico es una manera de represenar globalmente la parte lineal de la holonomia de la foliación. Demostramos la existencia de modelo logarítmico para toda curva generalizada dicrítica o no. También probamos que las curvas generalizadas con modelologarítmico no resonante tienen la propiedad de alejamiento de las separatrices, lo que completa los resultados de Rouillé. Obtenemos así una relación entre el tipo de singularidad de las separatrices y las componente dicríticas de la foliación polar, complementaria de la descripción dada por el teorema de descomposición. Finalmente carcterizamos la topología de una curva polar genérica de una foliación logarítmica bajo ciertas condiciones de genericidad. Este resultado se puede exteder a ls foliaciones con modelo logarítmico genérico.

Autor: RODRÍGUEZ MONTEALEGRE CRISTINA.
Año: 2000.
Universidad: JAEN.
Centro de lectura: ESCUELA POLITÉCNICA SUPERIOR.
Centro de realización: UNIVERSIDAD DE JAÉN.

Resumen: El objetivo de esta tesis es el estudio de ciertas subvariedades lagrangianas en el espacio euclídeo complejo, en el espacio proyectivo complejo y en el espacio hiperb-- complejo, cuya segunda forma fundamental verifica ciertas condiciones naturales relacionadas con la geometría conforme de la subvariedad. Se presenta una interpretación geométrica de las mismas, así como una clasificación explícita que da lugar a numerosas familias de ejemplos que se construyen con curvas plantas, esféricas o hiperblícas y con subvariedades lagrangianas de uan dimensión menos en los tres espacios modelo. Se obtienen finalmente importantes aplicaciones en teoría de subvariedades en el ámbito de minimalidad y forma de maslon conforme.

Autor: BARTOLO ROSSELLA.
Año: 1999.
Universidad: GRANADA.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: FACULTAD DE CIENCIAS.

Resumen: Se estudian algunos problemas jglobales acerca de curvas en vaiedades de Riemann y de Lorentz con borde mediante métodos variacionales. Concretamente, se consideran las siguientes curvas: 1 geodésicas que unen dos puntos, 2 geodésicas cerradas y 3 trayectorias de partículas bajo un potencial. Cuando se estudian en una variedad reimanniana M, jestas curvas sonpuntos críticos de funcionales acotados inferiormente sobre algunas variedades de Hilbert. Con técnicas de penalización, se puede demostrar su existencia (y, a veces, multiplicidad) bajo hipótesis ajustadas sobre el borde (en nuestro estudio, no necesarimente diferenciable) de la variedad M. Cuando M es una variedad lorentziana, debido a la indefinición de la métrica, los correspondientes funcionales son fuertemente indefinidos. Sin embargo, se aplican diversos principios variacionales que permiten obtener resultados de existencia para los tres tipos de curvas supracitadas. Estos resultados son aplicables a varios espciotiempos de interés en Relatividad, generalmente estacionarios: Kerr, Reissner-Nordstrom, Schwarschild. Tanto en el caso riemanniano como en el lorentziano se lleva a cabo un cuidadoso estudio de las distintas hipótesis de convexidad que deben hacerse sobre el borde de M para poder aplicar teoría de puntos críticos en variedades de dimensión infinita, y en especial Teoría de Morse y Teoría de Ljusternik-Schnrelmann. En particular, se revisan y extienden los resultados anteriores sobre estos problemas.

Autor: CASTRILLON LOPEZ MARCO.
Año: 1999.
Universidad: COMPLUTENSE DE MADRID.
Centro de lectura: MATEMATICAS.
Centro de realización: FACULTAD DE MATEMATICAS.

Resumen: El objetivo principal de esta memoria ha sido el estudio y caracterización de las formas gauge invariantes en el fibrado de las conexiones CP de un fibrado principal. Aprovechando la identificación entre CP y el cociente del fibrado de jets J1P por la acciónd el grupo estructural, se resuelve y el problema en dos etapas: 1-Se estudia la caracterización con J1P 2-Se analiza qué formas proyectan a CP Se otienen así las siguientes resultados: a-Las formas gauge invariantes en J1P son básicamente sus formas de contactos. B- Las formas gauge en CP son las formas características, generadores de las clases características del fibrado principal. Finalmente se hace uso de esta caracterización para obtener dos resultados en la Teoría del Cálculo de Variaciones en CP * Se caracterizan las lagrangianas, en la línea del Teorema de Utiyama, invariantes por el grupod e automorfismo. * Se resuelve el problema de equivalencia variacional de lagrangianas gauge invariantes.

Autor: ALEDO SANCHEZ JUAN ANGEL.
Año: 1999.
Universidad: MURCIA.
Centro de lectura: MATEMATICAS.

Resumen: Esta Memoria de Investigación está dedicada fundamentalmente al estudio de las hipersuperficies espaciales del espacio de De Sitter, aunque en el capítulo final se cambie de espacio ambiente para considerar hipersuperficies espaciales en el espacio de Lorentz-Minkowski. Una parte importante del trabajo está encaminada a encontrar caracterizaciones de las esferas totalmente umbilicales del espacio de De Sitter, que en algunos casos llevarán a nuevas hipótesis bajo las que la conjetura de Goddard es cierta. Se consideran especialmente condiciones relativas a las distintas curvaturas de la hipersuperficie, esto es, las curvaturas medias de orden superior, la curvatura escalar y la curvatura de Ricci, así como otras relacionadas con su imagen hiperbólica. La hipótesis de compacidad es también, sin duda, una de las más relevantes a lo largo de esta Memoria. En este sentido, se demuestra que las hipersuperficies espaciales compactas del espacio de De Sitter son las únicas hipersuperficies espaciales completas cuya aplicación de Gauss está acotada, así como las únicas hipersuperficies espaciales completas temporalmente acotadas. Además, se establece una interesante acotación del volúmen de una hipersuperficie espacial compacta en términos del radiode la bola deofésica que contiene su imagen hiperbólica, obteniendo adecuadas caracterizaciones para los valores límites. Por otra parte, se desarrollan una familia de fórmulas integrales para hipersuperficies espaciales compactas del espacio de De Sitter, que se denominan fórmulas de Minkowski. Estas fórmulas permiten obtener interesantes caracterizaciones de las esferas totalmente umbilicales del espacio de De Sitter, bajo hipótesis relativas a sus curvaturas medias de orden superior. También se estudian acotaciones apropiadas de las curvaturas medias de orden superior, la curvatura escalar y la curvatura de Ricci de hipersuperficies espaciales compactas del espacio de De Sitter; tales acotaciones vienen determinadas por la bola geodésica que contiene a la imagen hiperbólica o por la región temporal en que la hipersuperficie está contenida. Así mismo, se estudian acotaciones de las curvaturas medias de orden superior, la curvatura escalar y la curvatura de Ricci de hipersuperficies completas contenidas en regiones no acotadas del futuro (o pasado) cronológico determinado por un ecuador del espacio de De Sitter. Finalmente, se estudian también acotaciones de las curvaturas de hipersuperficies espaciales del espacio de Lorentz-Minkowski. En particular se demuestra que las únicas hipersuperficies espaciales completas del espacio de Lorentz-Minkowski con curvatura media constante y acotadas entre dos hiperplanos espaciales paralelos son los hiperplanos espaciales.

Autor: FRANCH BULLICH JAIME.
Año: 1998.
Universidad: POLITECNICA DE CATALUÑA.
Centro de lectura: MATEMATICAS.

Resumen: En esta tesis doctoral se presentan diversos métodos para la linealización de sistemas de control no lineales o para el estudio de la platitud. Se utilizan dos aproximaciones diferentes, en concreto: geometría diferencialy álgebra diferencial. En el marco de álgebra diferencial, se presenta un estudio de los sistemas lineales de control desde la perspectiva de la teoría de módulos. A pesar de que los resultados han sido establecidos previamente por otros autores, algunas demostraciones y ejemplos son originales. Entre las nuevas demostraciones cabe resaltar la que se refiere a la equivalencia entre sistemas de control lineales en representación de variables de estado, y los módulos sobre un anillo de operadores diferenciales. Los resultados de este estudio son ampliamente utilizados en el desarrollo de otros capítulos de la tesis en los que se usa el álgebra diferencial. En este contexto las principales contribuciones son: Una nueva demostración del hecho, bien conocido, que la linealización por realimentación estática y la linealización por realimentación dinámica son equivalentes en el caso de sistemas de entrada simple. Para la linealización de este tipo de sistemas, se desarrolla un nuevo algoritmo. Un procedimiento teórico para linealizar sistemas de entrada múltiple, basado en el cociente de módulos. También se ha hecho un paquete informático para llevar a cabo los cálculos necesarios. Debe mencionarse que este procedimiento es válido para linealizar sistemas mediante realimentación estática, así como para sistemas que sólo puedan linealizarse mediante realimentación dinámica. Una condición para comprobar si las salidas linealizantes encontradas pueden obtenerse mediante prolongaciones. Como aplicación, se muestran algunos ejemplos de sistemas linealizables por prolongaciones. Algunos de estos sistemas se creía que no eran linealizables mediante esta técnica. Un claro ejemplo de este hecho es un modelo del aparato que despega y aterriza verticalmente (VTOL). El procedimiento funciona de la manera siguiente: en primer lugar, se calcula el sistema tangente a un sistema dado. Esto se realiza usando la diferencial de Kahler. En segundo lugar, se conjeturan todas las salidas linealizantes menos una. Dado que el sistema tangente es un sistema lineal, y que todo sistema lineal se puede interpretar como un módulo, el sistema tangente se reduce a un sistema de una sola entrada mediante el uso del cociente de módulos. Posteriormente, se aplica el algoritmo diseñado para sistemas de una sola entrada para obtener la última salida linealizante. Una vez conseguida ésta en el sistema tangente, se trata de obtener las salidas linealizantes del sistema original porintegración de uno formas. En el marco de la geometría diferencial se estudia el problema de la linealización por prolongaciones. Se obtiene una condición necesaria y suficiente, mejorando las cotas existentes en la literatura. Los principales conceptos que se usan son las distribuciones involutivas y los paréntesis de Lie. Se muestran algunos ejemplos de sistemas de dos entradas. En algunos de estos ejemplos se trabaja con sistemas que hasta ahora se consideraban no linealizables por prolongaciones. Se demuestra que si son linealizables por prolongaciones. Puede mencionarse, por ejemplo, el VTOL, así como un modelo plano de un ventilador. En la tesis se trabaja primero con sistemas de dos entradas, y los resultados obtenidos se generalizan a sistemas sin restricción en el número de entradas. Los resultados obtenidos en el caso genral se mejoran para sistemas de tres entradas.

Autor: MUNDET RIERA IGNASI.
Año: 1998.
Universidad: AUTONOMA DE MADRID.
Centro de lectura: CIENCIAS.

Autor: FERRER MARTINEZ LEONOR.
Año: 1997.
Universidad: GRANADA.
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: DEPARTAMENTO: GEOMETRIA Y TOPOLOGIA PROGRAMA DE DOCTORADO: MATEMATICAS.

Resumen: Esta tesis doctoral se ocupa del estudio de una familia especial de superficies de R3, encuadradas dentro de la Geometria Diferencial Afin y conocidas como esferas afines impropias. La principal herramienta utilizada para este estudio es una representación conforme para estas superficies (análoga a la representación de weistrass de las superficies minimales), que se presenta en el capitulo 1 y que permite la utilización del analisis complejo y la Teoría clásica de las superficies de Riemann. El Capitulo I de la memoria está dedicado a hacer una breve descripción de aquellos conceptos de la teoría equiafrín de superficies más relevantes y a introducir las esferas afines impropias. También se describen con detalle algunos de los ejemplos de esferas afines impropias más representativos y se da la representación conforme anteriormente mencionada. En el Capitulo II se trata, fundamentalmente, de entender cómo son las esferas afines impropias compactas con frontera embebida y situada en planos paralelos y a obtener resultados de existencia y unicidad para estas superficies. En el Capitulo III se aborda el estudio de una Clase de esferas afines impropias no compactas con borde compacto con un buen comportamiento en infinito y a las que se denomina regulares en infinito que son el análogo afín a las superficies minimales de curvatura total finita. Finalmente, en el Capitulo IV se estudia un cierto conjunto de esferas afines impropias regulares en infinito con borde fijo, para el que se prueba, en el caso no vacío, que tiene estructura de variedad diferenciable de dimensión cinco. Además, para esta variedad diferenciable se da una foliación por subvariedades lagrangianas de R6 con su estructura simpléctica estándar.

Autor: BELTRAN SOLSONA JOSE VICENTE.
Año: 1996.
Universidad: VALENCIA.
Centro de lectura: MATEMATICAS.
Centro de realización: DEPARTAMENTO: GEOMETRIA Y TOPOLOGIA PROGRAMA DE DOCTORADO: GEOMETRIA Y TOPOLOGIA DE CIERTAS ESTRUCTURAS GEOMETRICAS..

Resumen: EN ESTA TESIS SE ESTUDIAN LAS VARIEDADES POISSON-NIJENHUIS Y LOS CORCHETES DE POISSON GRADUADOS EN EL ALGEBRA DE LAS FORMAS DIFERENCIALES UTILIZANDO UN NEXO DE UNION QUE EXISTE ENTRE AMBAS NOCIONES: LOS OPERADORES DIFERENCIALES SOBRE EL ALGEBRA DE LAS FORMAS DIFERENCIALES. SE OBTIENE UNA NUEVA CARACTERIZACION DE LAS VARIEDADES POISSON-NIJENHUIS UTILIZANDO EL CORCHETE UNIFICADO DE LOS OPERADORES CONTRACCION ASOCIADOS AL BIVECTOR DE POISSON Y AL TENSOR DE NIJENHUIS. án. POR OTRA PARTE, SE PRUEBA QUE TODOS LOS CORCHETES DE POISSON DE GRADO -1 NO DEGENERADOS SON TRASLADADOS DEL CORCHETE DE SCHOUTEN-NIJENHUIS MEDIANTE UN ISOMORFISMO DEL FIBRADO COTANGENTE EN EL FIBRADO TANGENTE. ADEMAS, UTILIZANDO TECNICAS DE VARIEDADES GRADUADAS, SE ESTUDIAN LOS CORCHETES DE POISSON DE GRADO IMPAR NO DEGENERADOS A PARTIR DE LAS FORMAS SIMPLECTICAS GRADUADAS IMPARES ASOCIADAS.

Autor: FERNANDEZ MARTINEZ ANTONIO.
Año: 1996.
Universidad: SALAMANCA .
Centro de lectura: CIENCIAS.
Centro de realización: DEPARTAMENTO: MATEMATICA PURA Y APLICADA PROGRAMA DE DOCTORADO: MATEMATICAS.

Resumen: SE INTRODUCE LA NOCION DE PROBLEMA VARIACIONAL CON LIGADURAS, QUEDANDO CARACTERIZADOS TALES PROBLEMAS POR TRES DATOS: LA DENSIDAD LAGRANGIANA, LA SUBVARIEDAD DE LIGADURA Y EL ALGEBRA DE VARIACION. EN EL MARCO DE ESTE NUEVO PRINCIPIO VARIACIONAL SE DA UNA INTERPRETACION DEL CAMPO ELECTROMAGNETICO (TANTO LIBRE COMO EN INTERACCION CON LA GRAVEDAD) COMO UN PROBLEMA VARIACIONAL CON LIGADURAS DE ORDEN 0 EN EL FIBRADO DE 2-FORMAS SOBRE UNA VARIEDAD. CONTINUANDO CON ESTAS IDEAS, SE ESTUDIAN LOS PROBLEMAS VARIACIONALES CON LIGADURAS DE ORDEN 0 EN EL FIBRADO DE 3-FORMAS EN UNA VARIEDAD DE DIMENSION 4, ANALIZANDO LAS ECUACIONES DE LAS SECCIONES CRITICAS PARA LAS DISTINTAS ALGEBRAS DE VARIACION DE LA TEORIA, LLEGANDO A OBTENER LAS ECUACIONES DE EULER DE LOS FLUIDOS PERFECTOS COMO LAS ECUACIONES DE LAS SECCIONES CRITICAS DE UN PROBLEMA VARIACIONAL CON LIGADURAS. A CONTINUACION SE DA UNA FORMULACION DE ESTOS PROBLEMAS VARIACIONALES COMO PROBLEMAS VARIACIONALES SIN LIGADURAS MEDIANTE UNA ADECUADA ELECCION DEL FIBRADO; DENOMINANDO A ESTA, FORMULACION CON POTENCIALES, POR ENTENDER QUE ES LA GENERALIZACION A LOS FLUIDOS PERFECTOS DE LOS POTENCIALES ELECTROMAGNETICOS. POR ULTIMO SE EXTIENDEN LAS NOCIONES ANTERIORES A LOS PROBLEMAS VARIACIONALES DE PRIMER ORDEN, OBTENIENDO LAS ECUACIONES DE LAS SECCIONES CRITICAS PARA TALES PROBLEMAS. PARA COMPLETAR EL TRABAJO SE HACE UN ESTUDIO DETALLADO DE LOS INVARIANTES DIFERENCIALES DE SEGUNDO ORDEN DE METRICAS Y CAMPOS DE TENSORES Y DEL PROBLEMA VARIACIONAL DE SEGUNDO ORDEN DEFINIDO POR LA DENSIDAD DE HILBERT EN UNA VARIEDAD 4-DIMENSIONAL.