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PROBLEMA DE INVENTARIO CON DESCUENTO DESDE LA PERSPECTIVA DE LA TEORÍA DE JUEGOS .

Autor: TOLEDO CASADO ANDRÉS.
Año: 2001.
Universidad: MIGUEL HERNANDEZ.
Centro de realización: UNIVERSIDAD DE MURCIA.

Resumen: Entre las decisiones de diferentes instituciones, enmarcadas en cualquier sector económico, destacan las correspondientes al control y mantenimiento de los inventarios. Los inventarios pueden definirse como el conjunto de todos aquellos productos que, independientemente de su grado de acabado y su finalidad, se utilizan o resultan en cierto proceso productivo de bienes o servicios. De ahí que los inventarios estén presentes en industrias, empresas de servicios como hospitales, economías domésticas e instituciones como universidades, administraciones públicas, etc. Se puede decir que los inventarios tienen como principal objetivo, el conocimiento y control del estado de aquellos bienes que forman parte de un proceso productivo. No obstante, los inventarios en las empresa presentan los siguientes objetivos adicionales: 1,- Protegerse contra las incertidumbres. Bien sea el caso de que no exista seguridad en el comportamiento de la demanda o bien en el cumplimiento de los plazos de entrega de los proveedores. 2,- Aprovecharse de las economías de escala. Con frecuencia es económico producir en cantidades determinadas. Por otra parte las compras de los productos, a mantener en inventario, suelen posibilitar un ahorro en el coste unitario del producto, por descuentos. 3,- Adelantarse a cambios conocidos en el comportamiento de la demanda o la oferta. En estos casos los inventarios permiten anticiparse a situaciones cambiantes en la oferta como consecuencia de huelgas o, simplemente, a variaciones en la demanda como consecuencia de su estacionalidad (hay productos cuya demanda no es la misma en invierno que en verano) por lo que hay que producir en una época para vender en otra. Por supuesto, existen otros posibles objetivos de los inventarios como la especulación, es decir el aumento de las cantidades en inventario ante futuras subidas de precios, pero los anteriores son los más importantes. Por todo ello, los propósitos de las políticas de inventarios deben ser; planificar el nivel óptimo de los inventarios y mantener, a través del control, los niveles de inventario tan cerca como sea posible del nivel óptimo. Para decidir sobre este nivel óptimo ha de tenerse en cuenta el coste de inventario, que es suma de los siguientes costes: 1,- Coste de almacenamiento del inventario. Este coste será tanto mayor cuanto mayor sea el nivel del inventario es decir, la cantidad en inventario. 2,- Coste de renovación del inventario o realización de pedidos. Con cada pedido que se realice para reaprovisonar el inventario, se incurre en costes comerciales, administrativos y de distribución que suelen suponerse independientes de cual sea el tamaño del pedido. Incluye los costes de administración de la orden de compra y su expedición, los de transporte del pedido y su recepción, los del seguro, etc. 3,- Coste de déficits o ruptura de stocks. La ruptura de stocks se produce cuando la empresa se queda sin inventarios. En tal caso, la empresa se enfrenta a la imposibilidad temporal de satisfacer las demandas de sus clientes, lo cual provoca siempre una pérdida de imagen, y en ocasiones una pérdida de ventas. 4,- Coste de compra o adquisición de los productos en inventario. Este coste sólo ha de tenerse en cuenta cuando se altera con el nivel de inventario. Por ejemplo, si a la demanda de grandes pedidos le acompaña la obtención de descuentos de precios. Desde que, a principios del siglo pasado, nació la disciplina científica de la gestión de inventarios, se han estudiado numerosos modelos de gestión de inventarios en el marco de problemas de decisión unipersonales. Una clasificación de estos modelos es la que diferencia entre modelos de deterministas y aleatorios. Los primeros son aquéllos en los que todos los parámetros son conocidos con certeza, mientras que en los modelos aleatorios, al menos, uno de los parámetros sólo se conoce en términos de probabilidades. El objetivo central de la gestión de inventarios es minimizar el coste medio de inventario por unidad de tiempo (a largo plazo) que el inventario ocasiona y, a la vez, asegurar cierto nivel de servicio previamente establecido. De interés para nuestro estudio han sido los modelos de inventario con descuento en el coste de compra, aquéllos en los que el coste de compra por unidad de producto disminuye con aumentos en el tamaño de los pedidos. Aunque la literatura es muy extensa en trabajos de modelos de inventario, tal y como afirma Hui-Ming (1999), los modelos de inventario con descuento en el coste de compra han recibido poca atención. Como trabajos más representativos de este tema podemos citar entre otros: Chang (2001), Chang and Chang (2001), Chang and Dye (2000), Feng and Xiao (2000), Hui-Ming (1999), Jucker and Rosenblatt (1985), Moutaz Khouja (2001), Sarker et al (2000), Schniederjans and Cao (2000). No obstante, no podemos obviar el trabajo seminal sobre modelos en la gestión de inventarios, Harris (1915), ni tampoco relevantes libros publicados sobre este tema como, por ejemplo, Hadley and Whitin (1963), Johnson and Montogomery (1974), Hax and Candea (1984) and Tersine (1994). En el capítulo 2 de la monografía estudiamos los modelos de inventario con descuento continuamente creciente, introducidos por Meca and Toledo (2001a). Estos modelos generalizan a los modelos de inventario con descuento no acumulativo descritos por Tersine and Toelle (1985). En los modelos de inventario con descuento continuamente creciente, la regla de precios, que determina el coste de compra, es fijada por el proveedor a través de una función decreciente en el tamaño de pedido, que satisface ciertas propiedades de diferenciabilidad. En estos modelos aplicamos, como criterio de decisión, el coste medio de inventario por unidad de tiempo, y obtenemos una política óptima que minimiza dicho coste. Los modelos de inventario con descuento continuamente creciente sólo difieren de los modelos conocidos como modelos básicos de inventario determinísticos en la regla de precios que determina el coste de compra. En los modelos básicos de inventario determinísticos se supone que el coste de compra es independiente de la cantidad comprada y, por tanto, intrascendente para cualquier política óptima de inventario. Todos ellos son descritos en este capítulo 2. Posteriormente, presentamos los modelos de inventario con descuento no acumulativo y, los modelos de inventario con descuento acumulativo. Éstos modelos son aquéllos en los que, diferencia de los modelos con descuento continuamente creciente, la regla de precios se determina a través de un esquema de descuentos no acumulativo y acumulativo, respectivamente, estudiamos por Tersine and Toelle (1985). Para completar el capítulo se presentan un par de aplicaciones económicas de los modelos de inventario con descuento continuamente creciente y, se propone una extensión de los mismos. En los restantes capítulos de esta memoria se estudia cómo la coordinación de diferentes empresas, en la gestión de sus inventarios, puede reducir sus costes de inventario. En este sentido, tanto los capítulos 3, 4 y 5, como los trabajos Meca et al (1999), Meca (2000), Hartman et al (2000), Meca et al (2001) y Müller et al (2001) siguen una misma línea: analizar problemas de inventario en un entorno cooperativo. No obstante, existen pocos trabajos en la literatura que estudien la coordinación entre empresas para gestionar sus inventarios. Una exhaustiva revisión de la literatura existen acerca de problemas de inventario desde la perspectiva de la teoría de juegos, tanto en un entorno cooperativo como no cooperativo, se presenta en el apartado. A través de la disciplina científica de teoría de juegos se han estudiado, desde un punto de vista cooperativo, una gran variedad de problemas de investigación operativa. En Rafels et al (1999) encontramos una panorámica de estos problemas. Algunos de ellos son los problemas de producción lineal (en Owen, 1975), problemas de asignación (en Shapley and Shubik, 1972), problemas sobre redes como los problemas de conexión de redes con mínimo coste (en Claus and Kleitman, 1973) y de flujo de redes (en Kalay and Zemel, 1972), problemas de optimización combinatoria, colas y localización (en Curiel, 1997), problemas de mercado (en Billera, 1981), el problema del transporte (en Sánchez Soriano, 1998), problemas de inventario, etc. A partir de cada uno de ellos surgen los correspondientes juegos de producción lineal, juegos de asignación, juegos sobre redes, juegos de inventario, etc. En Meca (2000) se estudian una gran variedad de juegos de inventario que surgen al introducir la coordinación en diferentes problemas de inventario. En todos ellos, la regla de precios, que determina el coste de compra, es intrascendente para la política óptima de los agentes cooperantes. Con los diferentes juegos de inventario, definidos en esta memoria, se persigue estudiar cómo afecta la política de precios establecida por el proveedor a la gestión de los inventarios en un entorno cooperativo. El capítulo 3 lo dedicamos a los juegos de inventario con descuento, estudiamos por Meca and Toledo (2001a). Esta clase de juegos es una extensión de otras dos clases: los juegos de inventario básicos con descuento continuamente creciente y los juegos de inventario básicos con mínimo coste de almacenamiento y descuento continuamente creciente. La primera de éstas surge cuando nos planteamos estudiar diferentes situaciones en las que a varias empresas, que modelizan sus costes de inventario mediante algún modelo de inventario con descuento continuamente creciente, se les permite coordinar sus pedidos para gestionar sus inventarios. Por su parte, los juegos de inventario básicos con mínimo coste de almacenamiento y descuento continaumente creciente surgen de situaciones en que, a diferencia de las anteriores, los jugadores podrán, además, almacenar sus pedidos en el almacén(es) del jugador(es) con mínimo coste de almacenamiento. En general, los juegos de inventario con descuento no son equilibrados. Es por ello por lo que se presentan procedimientos que nos permiten reducir el número de condiciones de Bondareva-Shapley que determinan sus carácter equilibrado y, procedimientos que reducen el número de restricciones que describen su núcleo. Se estudian diferentes clases de juegos contenidas en los juegos de inventario con descuento que son equilibradas. Posteriormente, analizamos los juegos de inventario asociados a las situaciones de inventario en que, a diferencia de las anteriores, los jugadores involucrados modelizan sus costes de inventario mediante alguno de los modelos de inventario con descuento no acumulativo y por el más simple de los modelos de inventario con descuento acumulativo (su correspondiente esquema de descuento acumulativo, que define el proveedor, está descrito, únicamente, por dos precios), respectivamente. Se comprueba que estos juegos están contenidos en la clase de los juegos de inventario con descuento. Completamos este capítulo con un apartado de conclusiones. En el capítulo 4 estudiamos los juegos de inventario con discriminación, introducidos por Meca and Toledo (2002). Estos juegos de inventario surgen de situaciones de inventario enlas que el proveedor aplica a cada uno de sus clientes un precio diferente y constante es decir, independiente de la cantidad comprada. Cada jugador modeliza sus costes de inventario de acuerdo al modelo EPQ con déficits. Asumidos que, en caso de que ciertos jugadores decidan coordinarse conforme a algún criterio que contemple la cooperación en pedidos, aquél que, individualmente, reciba un trato más privilegiado por la política de precios, actuará de intermediario entre coalición y proveedor. Éste no tendrá capacidad para conocer los demandantes últimos del producto. Así, el precio por unidad de producto, que paga la coalición, coincide con el mínimo de los precios establecidos a cada uno de sus miembros. En este contexto, surgen los juegos de inventario básicos con discriminación que incorporan, como criterio de cooperación, la coordinación de pedidos. Comprobamos que, en general, estos juegos no son ni cóncavos ni monótonos, pero sí son permutacionalmente cóncavos y subaditivos. No obstante, en caso de que los precios de compra por unidad de producto, aplicados a los agentes más perjudicados por la regla de precios, sean similares, el núcleo de un juego de inventario básico con discriminación se puede describir por una intersección finita de núcleos de juegos cóncavos de esta misma clase. Presentamos tanto cotas inferiores como superiores para el núcleo de estos juegos. Para ello, tenemos en cuenta que los juegos de inventario básicos con discriminación son suma de dos juegos de inventario con descuento. Uno de estos juegos motiva la definición de una subclase de los juegos de inventario con descuento, que denominamos juegos de inventario 1-coalicionales con descuento. Para estos juegos obtenemos la estructura del su núcleo. En caso de que los jugadores se coordinen no sólo en pedidos sino también en almacenamiento, surgen los juegos de inventario básicos con mínimo coste de almacenamiento y discriminación. En general, estos juegos no son ni permutacionalmente cóncavos ni monótonos, pero sí subaditivos. Para el núcleo de estos juegos, también presentamos cotas superiores e inferiores. Finalmente presentamos diferentes reglas de reparto que, sobre ambas clases de juegos, cumplen ciertas propiedades que nos permiten caracterizarlas. Y cerramos el capítulo presentando un apartado de conclusiones. En el Capítulo 5 se introducen diferentes juegos cooperativos asociados a problemas de inventario en los que el proveedor diseña una regla de precios invariante con la cantidad vendida e igual para todos sus clientes, pero distinta en ciertos instantes de tiempo. Estudiamos cómo ha de variar la política de un conjunto de empresas que, coordinándose en pedidos o en pedidos y almacenamiento, reciben un descuento temporal en el coste de compra. Asuminos, por un lado, que cada agente modeliza sus costes de inventario mediante el modelo EPQ con déficits y, por otro, que cada uno de los agentes sólo advierte las rebajas que el proveedor establece en el momento de realizar sus compras. Se definen los juegos de inventario con descuento temporal que modelizan el beneficio esperado por cada coalición, en caso de que el proveedor establezca el descuento en el coste de compra de acuerdo a cualquier distribución de probabilidad y, los jugadores se coordinen en pedidos o en pedidos y almacenamiento. En caso de que esta distribución de probabilidad esté dada a partir de ciertos índices, que miden tanto la fidelidad mantenida por sus clientes como su capacidad para proporcionar al proveedor liquidez inmediata ante un descuento, definimos la clase de juegos de inventario con descuento temporal coalicionalmente no discriminatorio. Dicha clase está contenida en los juegos de inventario con descuento temporal. Estos juegos son generalizados a la clase de los beta-juegos cuyo estudio completa este capítulo.

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