TEORIA ELEMENTAL DE LOS NUMEROS

Autor: DURÁN DÍAZ JOSÉ RAÚL.
Año: 2003.
Universidad: POLITECNICA DE MADRID.
Centro de lectura: INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN .
Centro de realización: ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS DE TELECOMUNICACIÓN.

Resumen: El objeto de esta memoria es el estudio de ciertas clases de primos que, por estar dotados de propiedades especiales, resultan de interés para su uso en los criptosistemas de clave pública. Las clases de primos consideradas en las siguientes: A) Los primos 1-seguros, determinados por la siguiente propiedad: un primo p se denomina 1- seguro si y sólo p= 2p+ 1 donde q es otro primo. B) Los primos 2-seguros, determinados por la siguiente propiedad: un primo p se dice 2-seguro si p=2q+1 y además q es 1-seguro. C) Los primos robustos. Sin entrar en definiciones muy rigurosas, podemos decir que esta clase de primos presenta varias variantes, que comparten entre sí la propiedad de que si p es un primo robusto entonces p+1 y p 1 contienen factores primos grandes; y además algunos de estos factores presentan a su vez esta misma propiedad. En este trabajo se generalizan las definiciones de los puntos 1 y 2 introduciendo la noción de primo k-seguro de signatura arbitraria. Por ejemplo, de acuerdo con tal definición existen dos clases de primos 1-seguros: los de la signatura +1, que coinciden con los definidos en el punto 1 anterior; y los de signatura 1, que se escriben como 2q 1, donde q es otro primo. Obsérvese que la condición p+1 contiene un factor primo grande se verifica de modo óptimo cuando p es un primo 1-seguro de signatura 1. Análogamente, la condición p 1 contiene un factor primo grande se verifica de modo óptimo cuando p es un primo 1-seguro de signatura +1. Se introduce una clase novedosa de primos robustos designados como primos robustos óptimos. La idea consiste en definir una cierta función de variable discreta que permita caracterizar el grado de robustez de un primo robusto. Para cada clase de primos propuesta se estudian su distribución, su función recuento, la probabilidad de seleccionar uno de ellos aleatoriamente dentro del conjunto de los enteros positivos y el tiempo de computación asociado a la extracción aleatoria de uno de ellos. Con estos datos, es sencillo predecir un parámetro de importancia vital para los criptosistemas de clave pública; a saber, el tiempo necesario para el cambio de las claves, estimado con suficiente precisión: un buen sistema criptográfico para el que fuera muy costosa la modificación de claves resultaría inútil en la práctica. Muchos de los resultados obtenidos no han sido demostrados rigurosamente, si bien todos ellos se apoyan en conjeturas que, establecidas por autores clásicos, están confirmadas por múltiples experimentos numéricos dentro de los rangos que se utilizan en teoría de números avanzan muy lentamente. El interés de esta memoria radica en que proporciona estimaciones heurísticas fiables acerca de los tiempos de computación necesarios para obtener primos de cada una de las clases antes referidas. Se presentan, por último, las aplicaciones prácticas junto con experimentos numéricos que constituyen la confirmación práctica de la exactitud de las predicciones teóricas.

Autor: MIRALLES DE IMPERIAL LLOBET JOAN.
Año: 2000.
Universidad: AUTONOMA DE BARCELONA.
Centro de lectura: CIENCIAS DE LA EDUCACION.
Centro de realización: ESCUELA DE DOCTORADO UAB.

Resumen: Este trabajo pretende mostrar un ejemplo de posible aplicación de la ley biogenética al concepto de núemro. Después de estudiar el significado actual de este concepto, se analiza la evolución del concepto de número desde la Antigüedad babilónica y egipcia hasta el Siglo XVIII, centrándose principalmente en las aproximaciones de los irracionales cuadráticos. Se analiza de manera espeical la sutil línea que separa el mero cálculo de aproximaciones de la construcción de sistemas de representación en dos momentos históricos concretos: la civilizaicón india entre los siglos V y XII y el Renacimiento europeo, hasta las fracciones continuadas. En muchos casos, además de la bibliografía histórica especializada, se estudian los propios originales de la época, como en los casos de R. Bombelli, P.A. Cataldi o L. Euler. Algunos de los problemas históricos analizados se fundamentan y demuestran con concepción y lenguaje matemáticos actuales con una doble finalidad: por una parte, analizar el nivel de correción o de generalidad de algoritmos que en su momento fueron sólo descritos sin demostración y, por otra parte, explotar didácticamente algunos de ellos. En algunos casos se dan demostraciones tanto de tipo algebraico com no geométrico. Para terminar, se analizan los resutlados de dicha explotación didáctica, se proponen elementos y bibliográfia accesible para posibles trabajos de investigación de Bachillerato y se muestran algunos programas informáticos en Maple V para implementar algunos de los algoritmos estudiados.

Autor: VIADER CANALS PELEGRI.
Año: 1994.
Universidad: POLITECNICA DE CATALUÑA.
Centro de lectura: INFORMATICA.
Centro de realización: DEPARTAMENTO: MATEMATICA APLICADA II Y III PROGRAMA DE DOCTORADO: MATEMATICA APLICADA.

Resumen: SE PRESENTA UN NUEVO SISTEMA DE REPRESENTACION DE NUMEROS REALES MEDIANTE SERIES ALTERNADAS DE FRACCIONES UNITARIAS (SAFUM), EN LA PRIMERA PARTE DE LA TESIS SE ABORDAN LAS CUESTIONES RELATIVAS A LA TEORIA GENERAL: TEOREMAS DE EXISTENCIA Y UNICIDAD, ALGORITMOS PARA EL DESARROLLO DE ENTIDADES NUMERICAS EN SAFUM, APLICACIONES A LA APROXIMACION DE NUMEROS REALES Y OTRAS CUESTIONES DE CARACTER GENERAL. EN LA PARTE PRINCIPAL DE LA TESIS, SE ABORDA EL PROBLEMA DE LA TEORIA METRICA DE LAS SAFUM, ES DECIR EL ESTUDIO DE LA MEDIDA LEBESGUE DE CONJUNTOS DE NUMEROS REALES DEFINIDOS A TRAVES DE CONDICIONES IMPUESTAS SOBRE SU REPRESENTACION EN SAFUM. SE ESTABLECEN TEOREMAS GENERALES Y TECNICAS ESPECIFICAS QUE PERMITEN ABORDAR PROBLEMAS CONCRETOS Y, LO QUE ES MAS IMPORTANTE, OBTENER CONJUNTOS CON MEDIDA POSITIVA. EN LA ULTIMA PARTE DE LA TESIS SE ESTABLECE UNA CONJETURA RESPECTO AL TIPO DE CRECIMIENTO DE LOS TERMINOS DE UNA SAFUM GENERICA Y SE APORTAN ELEMENTOS DESDE EL PUNTO DE VISTA DE LA TEORIA DE PROCESOS ESTOCASTICOS PARA, EN EL FUTURO, DEMOSTRAR O REFUTAR LA CONJETURA.

Autor: CANOVAS ORVAY FRANCISCA.
Año: 1989.
Universidad: COMPLUTENSE DE MADRID.
Centro de lectura: MATEMATICAS.
Centro de realización: DPTO. ALGEBRA. FACULTAD DE C.C. MATEMATICAS UNIVERSIDAD COMPLUTENSE.

Resumen: LA MEMORIA DOCTORAL ES UN ESTUDIO DE LA ARITMETICA DEL ANILLO DE ENTEROS DE UN CUERPO DE NUMEROS CUBICOS K CON ESPECIAL RELEVANCIA EN EL CASO CICLICO: EN EL CAPITULO I SE OBTIENEN BASES MINIMALES EN CADA PRIMO, EN TERMINOS EXCLUSIVAMENTE DE LOS COEFICIENTES DE UN POLINOMIO DE DEFINICION DE K. SE DETERMINAN CON ELLOS BASES ENTERAS Y SE CALCULA EL DISCRIMINANTE DE K. EN EL CAPITULO II SE ESTUDIA LA DESCOMPOSICION EXPLICITA EN K DE UN PRIMO RACIONAL, UTILIZANDO LOS RESULTADOS DEL CAPITULO I. SE COMPLETAN ASI LOS RESULTADOS DE LLORENTE Y NART (PROC. AMER. MATH. SOC. 1983). EL CAPITULO III CONTIENE LOS RESULTADOS MAS RELEVANTES DE LA MEMORIA: 1) SE ESTABLECE UNA BIYECCION ENTRE LOS CUERPOS CUBICOS CICLICOS Y LA FAMILIA DE POLINOMIOS X3-PX+PQ, P,Q PERTENECIENTES A Z, (P,Q)=1 Y 4P-27Q2 PERTENECIENTES A Z2; DONDE P2 ES EL DISCRIMINANTE DE K. 2) UN ALGORITMO PARA EL CALCULO DE UNIDADES FUNDAMENTALES EN UN CUERPO CUBICO CICLICO, HACIENDO EFECTIVO EL CALCULO DE LA FUNCION S DE GODWIN (C.F. M.N. GRASS, ANN. INST. FOURIER 1980). DICHO METODO SE APLICA A LA OBTENCION DE UNA TABLA DE UNIDADES FUNDAMENTALES PARA DISCRIMINANTES MENORES QUE 16 POR 10 ELEVADO A 6. EL ANALISIS DE ESTAS PERMITE A SU AUTORA ENCONTRAR UN SISTEMA FUNDAMENTAL DE UNIDADES PARA TRES FAMILIAS (U,V,W) DE CUERPOS CUBICOS CICLICOS. LA FAMILIA U HA SIDO ESTUDIADA POR COHN (AMER. MATH. SOC. 1956) Y WATABE (PROC. JAPAN, ACAD. 1983, 1984), SIENDO V Y W ORIGINALES. POR ULTIMO SE DEDUCEN ALGUNOS RESULTADOS SOBRE LA PARIDAD DEL NUMERO DE CLASE Y SU COMPORTAMIENTO CUANDO EL DISCRIMINANTE TIENDE A INFINITO DE ESTAS FAMILIAS.